电子科技大学应用数学学院：《数学建模》例 3.4.5 零件的参数设计（徐全智）

例3.4.5零件的参数设计(1997年A题) 一件产品由若干零件组装而成,标志产品性能 的某个参数取决于这些零件的参数,零件参数包 括标定值和容差两部分 1.进行零件参数设计,就是要确定标定值和容 差,需考虑两方面因素; 2.当各零件组装成产品时,如果产品参数偏离 预先设定的目标值就会造成质量损失,偏离 越大,损失越大; 3.零件容差的大小决定了其制造成本,容差设 计得越小,成本越高 试通过如下的具体问题给出一般的零件参数 设计方法 粒子分离器某参数(记作y)由7个零件的参 数(记作x1,x2,…,x7)决定,经验公式为: y=f(x1,x2,…,x7) 1-2.621-0.36(4-0.613/2x =17442()( 30.85 x22-x1 Xsx y的目标值(记作yo)为1.50,当y偏离y0±0.1时, 产品为次品,质量损失为1000元;当y偏离y±0.3

例 3.4.5 零件的参数设计（1997 年 A 题） 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能 的某个参数取决于这些零件的参数，零件参数包 括标定值和容差两部分. 1. 进行零件参数设计，就是要确定标定值和容 差，需考虑两方面因素; 2. 当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离 预先设定的目标值就会造成质量损失，偏离 越大，损失越大； 3. 零件容差的大小决定了其制造成本，容差设 计得越小，成本越高. 试通过如下的具体问题给出一般的零件参数 设计方法. 粒子分离器某参数（记作 y）由 7 个零件的参 数（记作 x1, x2 , …, x7）决定，经验公式为： 6 7 1.1 6 2 0.5 6 3/ 2 4 2 4 0.8 5 2 1 3 2 1 1 2 7 1 2.62[1 0.36( ) ] ( ) 174.42( )( ) ( , , , ) x x x x x x x x x x x y f x x x − − −  − = =  y 的目标值（记作 y0）为 1.50, 当 y 偏离 y0  0.1 时， 产品为次品，质量损失为 1 000 元；当 y 偏离 y0  0.3

时,产品为废品,损失为9000元 请你综合考虑y偏离y造成的损失和零件成 本 例3.4.7森林失火了!消防站接到报警后派多 少消防队员前去救火?要综合考虑森林损失费、救 援费和消队员人数之间的关系,以总费用最小来决 定派出队员的数目 问题分析损失费正比于森林烧毁面积,现考 虑森林烧毁面积函数B(t) 变量说明t=0:森林开始失火的时刻; t1:开始救火的时刻; t2:火扑灭的时刻。 假设*1在消防队员到达之前,火势越来越 大,火势蔓延速度与时间成正比,即 dB ≤t≤t1, B称为火势蔓延加速度 解释:火势从某个中心开始,以均匀速度成 环形向外蔓延,蔓延半径r(t)∝t,又因B(t)∞r2(t), dB 故

时，产品为废品，损失为 9 000 元. …… 请你综合考虑 y偏离y0造成的损失和零件成 本. 例 3.4.7 森林失火了！消防站接到报警后派多 少消防队员前去救火？要综合考虑森林损失费、救 援费和消队员人数之间的关系，以总费用最小来决 定派出队员的数目. 问题分析 损失费正比于森林烧毁面积，现考 虑森林烧毁面积函数 B(t). 变量说明 t=0: 森林开始失火的时刻； t1 : 开始救火的时刻； t2 : 火扑灭的时刻。 假设 *1 在消防队员到达之前，火势越来越 大，火势蔓延速度与时间成正比，即 t dt dB =  , 0≤t≤t1， β称为火势蔓延加速度. 解释：火势从某个中心开始，以均匀速度成 环形向外蔓延，蔓延半径 r(t)∝t, 又因 B(t)∝r 2 (t), 故 dt dB ∝t

2派出x名消防队员,开始救火以后,火势 蔓延速度为 B-Ax(<0),有 dB βt-Ax(t-t),t≤t≤t2 建立函数关系森林烧毁面积为 dB B(2)=0mm 它恰是图中三角形的面积,有 b B(t2)=.bi 注意到βt=b,且 dB a|1=b=0,可求出 b t1+ ax-B 于是 B(t)=bt 2

*2 派出 x 名消防队员，开始救火以后，火势 蔓延速度为 β－λx(<0) ,有 dt dB =βt－λx(t－t1), t1≤t≤t2。 建立函数关系 森林烧毁面积为 =  2 0 ( 2 ) t dt dt dB B t 它恰是图中三角形的面积，有 2 2 2 1 B(t ) = bt , 注意到βt1=b,且 0, 1 t =b = dt dB ,可求出  −  = + x b t 2 t 1 ， 于是 2 2( ) 1 ( ) 2  −  = + x b B t bt . 0 b t1 t2 β β－λx dt dB