电子科技大学应用数学学院：《数学建模》第四章 量纲分析建模法（徐全智）

第四章量纲分析建模法 在数学的应用中,需处理的往往不是“纯粹的 数,而是反映事物某一特性的度量 用数加单位来表示具体度量; 用量纲的概念来表示被度量的特性 量纲分析法是一种有效的物理建模方法 匚单位 SI国际单位制(米千克秒); ips英制单位制(英尺磅秒)

第四章 量纲分析建模法 在数学的应用中，需处理的往往不是“纯粹的” 数，而是反映事物某一特性的度量. 用数加单位来表示具体度量； 用量纲的概念来表示被度量的特性. 量纲分析法是一种有效的物理建模方法 一.单位 SI 国际单位制（米—千克—秒）； fps 英制单位制（英尺—磅—秒）

个模型中单位必须统 匚量纲 质量(M)力学中,任何物理量 基本物理 都可以表示为其组合形 长度(L) 式,称这种组合形式为 时间(T)物理量的量纲 其中[量l=[ml=M, 称为 「长度]=[=L, 基本量 时间=[t=T, 纲

一个模型中单位必须统一 二.量纲 时间（T） 基 本 物 理 量 质量（M） 长度（L） 力学中，任何物理量 都可以表示为其组合形 式，称这种组合形式为 物理量的量纲. 称为 基本量 纲 其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T

例:[逮速度]=lvl=dd=Ll-1 [加速度]=a|=LT-2; 因为力F=ma,故[F|=mla|=MLT-; 部分物理常数也有量纲,如万有引力定律 1 f=K 2 2 中的引力常数K的量纲为 f 2 IKIIMim2/Iml[m2 LMT-2L2 =D-1T 2 M 2

例： [加速度]=[ a ] =LT－2 ; 因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2 ; 部分物理常数也有量纲，如万有引力定律 2 1 2 r m m f = K 中的引力常数K的量纲为 3 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 [ ][ ] [ ][ ] [ ] − − − = =         = L M T M LMT L m m f r m m fr K [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt ds

部分物理量是无量纲的称之为纯数字,如 [角度]=LL1=L0 尽管角度是无量纲量,但它有单位弧度) 量纲独立于单位 三.量纲齐次性( Dimensional homogeneity) 量纲齐次原则:任一有意义的物理方程必定是量 纲一致的,即有 左边]=边 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验。 2.无量纲化方法减少参数个数

部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如 ［角度］=LL—1=L0 尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度). 量 纲 独 立 于 单 位 三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity） 量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量 纲一致的,即有 [左边] = [右边] 1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验。 2. 无量纲化方法减少参数个数

例41非线性震荡运动方程 -+kx+c 2 F v2 或 t dv=一 Kx-Cp+F。 模型中有参数:m、K、C 令x=X0),w0=m,vxoW

F dt dx Kx C dt d x m + + = 2 2 例4.1 非线性震荡运动方程        = − − + = . , Kx Cv F dt dv m v dt dx 或 模型中有参数：m、K、C 令 x0=x(0) , w0 = , v0=x0 w0 , m K

根据量纲齐次性,有 I WoI=t-I,F=MLT-2 IKMT2, C=MT-I 引进无量纲量: T=Wot, X=X/o, V=v/v 得 s(0上 00 dX vo dX =V dt T dT wo 特点? dX v dT y 0

根据量纲齐次性, 有 [ w0 ]=T－1 , [ F ]=MLT－2 , [ K ]=MT－2 , [ C ]= MT－1 . 引进无量纲量： T=w0 t , X=x/x0 , V=v/v0 v dT v dX dT w x dX w T d d x X dt dx = = = = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 得 V v v dT dX = = 0 特点？

将 dv d(vor Mt woo dT 代入原方程,有 dv K C F wove wove 0v0 Kx C F mw 0 0 mwo o woo X-4+F0 其中,因 Vo-XoWo. w

dT dV mw v d d v V m dt dv m w T 0 0 0 ( ) ( ) 0 将 = = 代入原方程，有 0 0 0 0 0 0 mw v F v mw v C x mw v K dT dV = − − + 0 0 0 0 0 2 0 ( ) ( ) mw v F v v mw C x x mw K = − − + =－X－AV+F0 其中，因v0=x0w0 , w0= m K

原方程变形为 +AV=F0-X dT 优点: 1.减少了参数的个数 2.方程中的变量X、V、T都是无量纲量 四量纲分析建模 量纲分析是20世纪初提出的在物理领中建 立数学模型的一种方法是对所设问题有一定了 解,在实验和经验的基础上利用量纲齐次原则 来确定各物理量之间的关系

原方程变形为 AV F X dT dV + = 0 − 优点： 1. 减少了参数的个数； 2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量. 四. 量纲分析建模 量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建 立数学模型的一种方法,是对所设问题有一定了 解，在实验和经验的基础上利用量纲齐次原则 来确定各物理量之间的关系

「例42单摆运动单摆运动的抽象 Buckingham Pif定理 ● 设有m个物理量q1,q2,…qm,而 qm)=0 (1) 是与量纲单位的选取无关的物理定律 19-2 ●●·9 Xn是基本量纲其中nm,q1,q2,….qm 的量纲可表为 X;",j=1,2,,m 矩阵A={a1}×m称为量纲矩阵若A的秩 Rank(a)=r

例4.2 单摆运动 单摆运动的抽象 Buckingham Pi定理： 设有m 个物理量 q1，q2，… qm , 而 f (q1，q2，… qm )=0 （1） 是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1 , X2 , … , Xn 是基本量纲,其中n≤m，q1，q2，… qm 的量纲可表为    = = = n i aij Xi ij j m 1 , 1,2,,  矩阵A={ai,j}n×m称为量纲矩阵. 若A的秩 Rank(A)=r

若齐次线性方程组AY=0(y是m维向量)的m r个基本解为 y=(ys1,y32…,ysm)2,s=1,2,…, mr j=1 为m-r个相互独立的无量纲量且 T 192 ,兀m-)=0 (2) 与(1)式等价,其中F的形式未知 例42航船阻力 例4.3物理模拟中的比例模型

若齐次线性方程组 AY=0 ( y是m维向量)的 m－ r个基本解为： ys=(ys1, ys2, …, ysm) T , s=1,2, …,m－r  = = m j y s j s j q 1 则  为 m－r 个相互独立的无量纲量,且 F(π1 , π2 , …，πm－r )=0 （2） 与（1）式等价，其中F的形式未知. 例4.2 航船阻力 例4.3 物理模拟中的比例模型