中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter4（2）方阵的特征值与特征向量

Chapter 4(2 车的特征值 与特征向量

Chapter 4(2) 方阵的特征值 与特征向量

教学要求: 1.理解方阵的特征值和特征向量的概念及性质; 2.会求方阵的特征值和特征向量 K心[

教学要求： 1. 理解方阵的特征值和特征向量的概念及性质; 2. 会求方阵的特征值和特征向量

A路氯 特征值与特征向量的定义 二.特征值与特征向量的性质 特征值与特征向量的求法 KDDI

一 .特征值与特征向量的定义 二.特征值与特征向量的性质 三.特征值与特征向量的求法

特征值与特征向量的定义 定义设4是n阶方阵,如果存在数4和n维非零列向量x 使关系式 Ax=ax 成立,那末这样的数称为方阵4的特征值,非零向量x 称为A的对应于特征值的特征向量 注意 特征向量x≠0,特征值问题是对方阵而言的

一 .特征值与特征向量的定义 . , , , , 称为 的对应于特征值 的特征向量 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 使关系式 设 是 阶方阵 如果存在数 和 维非零列向量     A A x Ax x A n n x = 定义. 注意 特征向量x  0,特征值问题是对方阵而言的

二特征值与特征向量的性质 1.如果p是4的对应于特征值的特征向量, 则k(k≠0也是4的对应于的特征向量 Proof.∴A0=1p, A(kp0)=k(4p0)=k(0p0)=0(ko) k是4的对应于的特征向量 2如果1与2是4的对应于特征值的两个特征向量, 则k11+k2P2(k1,k2不同时为0)是A的对应于的 特征向量

二.特征值与特征向量的性质 ( 0) . 1. , 0 0 0 0 则 也是 的对应于 的特征向量 如果 是 的对应于特征值 的特征向量   kp k A p A  Proof. ,  Ap0 = 0 p0 ( ) ( )  A kp0 = k Ap0 ( ) = k 0 p0 ( ) = 0 kp0 . kp0是A的对应于0的特征向量 . ( , 0) 2. , 1 1 2 2 1 2 0 1 2 0 特征向量 则 不同时为 也是 的对应于 的 如果 与 是 的对应于特征值 的两个特征向量   k p k p k k A p p A +

ro∵41=AD1,4p2=A02, A(k1p1+k2p2)=k1(41)+k2(4p2) k1(401)+k2(102)=A0(k1P1+k2D2) k1p1+k2P2是的对应于x的特征向量 推广 如果1,P2,,p是4的对应于的特征向量, 则非零线性组合k1p1+k2P2+…+kP (k1,…k不同时为0也是4的对应于的特征向量 K

Proof. ,  Ap1 = 0 p1 ( )  A k1 p1 + k2 p2 ( ) ( ) = k1 0 p1 + k2 0 p2 ( ) = 0 k1 p1 + k2 p2 , Ap2 = 0 p2 ( ) ( ) = k1 Ap1 + k2 Ap2 . k1 p1 + k2 p2是A的对应于0的特征向量 推广: ( , 0) . , , , , 1 0 1 1 2 2 1 2 0 不同时为 也是 的对应于 的特征向量 则非零线性组合 如果 是 的对应于 的特征向量   k k A k p k p k p p p p A s s s s    + + +

3.若41,2,…,mn是方阵A的各不相同的m个特征值, p1,P2,…,pn依次是与之对应的特征向量, 则p1,P2,…,Pm线性无关 Proo设有常数x1,x2,…,xm使 x1P1+x2P2+…+xmp 则A(x1n1+x2D2+…+xmDm) 即x1xD1+2x2P2+…+ mmp=0, 类推之,有x11+2x22+…xnDn=0. (k=1,2,…,m-1)

, , , . , , , , 3. , , , , 1 2 1 2 1 2 则 线性无关 依次是与之对应的特征向量 若 是方阵 的各不相同的 个特征值 m m m p p p p p p A m       Proof. 设有常数 x1 , x2 ,  , xm 使 0. x1 p1 + x2 p2 ++ xm pm = ( ) 0, 则 A x1 p1 + x2 p2 ++ xm pm = 0, 即 1x1 p1 + 2x2 p2 ++ mxm pm = 类推之, 有 0. 1 1 1 + 2 2 2 + + m m = k m k k  x p  x p   x p (k = 1,2,  ,m −1)

把上述各式合写成矩阵形式,得 A122 x2p2 0 m-1 1 上式等号左端的系数矩阵的行列式为范德蒙行列 式当各λ不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵 可逆于是有(x11,x2D2,…,xmpm)=(0,0,…,0), 即x1=0(=12,,m)但D1≠=0,故x,=0=12,…,m 所以向量组p1,P2,…,Dn线性无关

把上述各式合写成矩阵形式，得                         − − − m m m m m m m x p x p x p        2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1                   = 0 0 0  可逆 于是有 式 当各 不相等时 该行列式不等于 从而该矩阵 上式等号左端的系数矩阵的行列式为范德蒙行列 . , , 0, i ( , , , ) (0,0, ,0) , 1 1 2 2  = x p x p  xm pm   x p 0 ( j 1,2, ,m). 即 j j = =   0, j 但 p x 0( j 1,2, ,m). 故 j = =  , , , . 所以向量组 p1 p2  pm 线性无关

注意 (1)属于不同特征值的特征向量是线性无关 的 (2)属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量 (3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量不能属于不同的特征值 K

注意 (1) 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的． (2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． (3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．

三.特征值与特征向量的求法 ∵Ax=Ax, (E-4)x=0, x≠O,即上述矩阵方程有非零解, 也就是含有n个未知数n个方程的方程组有非0解 ∴AE-A=0 12 n 即 21 22 2n=0 n2 元-an 由此可求得特征值

三.特征值与特征向量的求法  Ax = x, (E − A)x = O, x  O,即上述矩阵方程有非零解, 也就是含有n个未知数n个方程的方程组有非0解.  E − A = 0. 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − − − − − − − − n n nn n n a a a a a a a a a           即 由此可求得特征值