电子科技大学应用数学学院：《数学建模》第三章 建模方法论（3-6）模型解的分析和检验（徐全智）

36模型解的分析和检验 始于现实世界并终于现实世界 数学建 模工作 最终要得到现 实问题的解答 求出模型的数学解以后 必须对解的意义进行分析、检验

3.6 模型解的分析和检验 始于现实世界并终于现实世界 数学建 模工作 最终要得到现 实问题的解答 求出模型的数学解以后， 必须对解的意义进行分析、检验

需讨论以下类似问题 这个解说明了什么问题? 2.是否达到了建模的目的? 3.模型的适用范围怎样? 4.所建模型是否合理?是否合乎实际?是否有 原理性错误、常识性错误? ●●● 例3.6.1《格列佛游记》中小国的小人们为 估算格列佛的食量,利用身体的相似性,建立了 个数学模型 W=ah3 W是人的体重,H是人的身高

需讨论以下类似问题： 1. 这个解说明了什么问题？ 2. 是否达到了建模的目的？ 3. 模型的适用范围怎样？ 例3.6.1《格列佛游记》中小人国的小人们为 估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了 一个数学模型 4. 所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有 原理性错误、常识性错误？…… W= a H3 W是人的体重，H 是人的身高

检验:先确定参数a,新生婴儿身长约50厘米, 重约3千克代入模型得 a=W/H=3/0.5=24, 得模型为 w=24H3 这是一个适用于肥胖人群的体重-身高模型。 据此可计算得 身高为1米的儿童体重为W(15)=81(千克); 身高为2米的运动员体重为W(2)=192(千克 检验模型是数学建模工作的重要环节

a=W/ H3=3/0.5=24, 检验： 先确定参数a，新生婴儿身长约50厘米， 重约3千克,代入模型得 得模型为 W=24H3 这是一个适用于肥胖人群的体重－身高模型。 据此可计算得 身高为1.5米的儿童体重为 W(1.5)=81(千克)； 身高为2米的运动员体重为 W(2)=192(千克). 检验模型是数学建模工作的重要环节

例3.6.2将一块石头扔进洞中估计洞的深度 个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间t 和洞深h的关系模型: h=9(t+exp(kt) g t≥0 KK 2 用到假设 *1石头下降时所受空气的阻力和速度成正比 *2阻力产生的加速度也和速度正比 k为比例系数 分析检验 1.检查模型的量纲是否正确

例3.6.2 将一块石头扔进洞中估计洞的深度. 一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间t 和洞深 h 的关系模型： exp( )) , 0, 1 ( 2 = + − − t  k g kt k t k g h 用到假设： k为比例系数. 分析检验 1. 检查模型的量纲是否正确? *1 石头下降时所受空气的阻力和速度成正比; *2 阻力产生的加速度也和速度正比

根据比例系数k的定义有 dv_kv dt LT=kLT-I IkI=T-I 注意到exp(一kt)是无量纲量,可验证模型的 量纲正确 2.检验模型是否与物理定律相符? 若忽略空气阻力(即k=0),应有 h=0.5gt2 验证模型是否与此物理定律相符

根据比例系数 k 的定义有 kV dt dV = LT－2=[k]LT－1 [k]=T－1 注意到exp(－kt)是无量纲量，可验证模型的 量纲正确. 2. 检验模型是否与物理定律相符? 若忽略空气阻力（即k=0）, 应有 h=0.5gt2 验证模型是否与此物理定律相符

能否将k=0代入模型 kkexp(kt ) h=(t+ g 2 参见讲义p59 3.参数的灵敏度分析 取参数k的值为005(克/秒),可算得 981 981 h1=(4) 「4+ 7350(米) 0.05 005eX-0.2) (052 即,若回声在4秒听到,模型测算出洞深73.50米 又若参数k有微小变化,测算值会怎样变化?

能否将 k=0 代入模型 2 exp( )) 1 ( k g kt k t k g h = + − − ？ 参见讲义p59. 3. 参数的灵敏度分析 取参数 k 的值为0.05(克/秒),可算得 73.50( ) (0.05) 9.81 exp( 0.2)] 0.05 1 [4 0.05 9.81 (4) 2 h1 = h = + − −  米 即, 若回声在4 秒听到，模型测算出洞深73.50米. 又若参数k有微小变化，测算值会怎样变化？

令k=0.045,参数的相对变化幅度为 0.045-0.05/0.05=10%, 计算得h2h(4)≈73.98,洞深预测值相对 变化幅度为 (73.5-7389)/73.5<1% 说明模型对空气阻力比例系数k不敏感即对 洞深预测影响不大,可忽略空气阻力 4进一步分析空气的影响 若完全忽略空气的影响,有 h1=h(4)=0.5g+2=0.5×9.81×427848(米)

令 k=0.045, 参数的相对变化幅度为 ︱0.045－0.05︱/0.05=10%， 计算得 h2=h(4)≈73.98，洞深预测值相对 变化幅度为 说明模型 （ 对空气阻力比例系数 73.5－73.89）/73.5＜ k不敏感 1%. ,即对 ？ 洞深预测影响不大,可忽略空气阻力. 4. 进一步分析空气的影响 若完全忽略空气的影响, 有 h1=h(4)=0.5gt2=0.5×9.81×4 2≈78.48(米)

绝对误差为7848-73505(米) 相对误差为(784873.50)/73.50≈7%, 结果分析说明被忽略的空气因素对模型产生较 明显的影响 模型中用到隐含假设:石头撞击地面的声音 能立即听到 未考虑声音在空气中的传播速度 传播速度大约为330米/秒,则石头着地声音 的传播时间大约为 h/330~735/330≈023(秒)

绝对误差为 78.48－73.50≈5(米)， ？ 结果分析 说明被忽略的空气因素对模型产生较 明显的影响. 模型中用到隐含假设：石头撞击地面的声音 能立即听到. 相对误差为 （78.48－73.50）/73.50≈7%， 未考虑声音在空气中的传播速度. 传播速度大约为330米／秒 , 则石头着地声音 的传播时间大约为 h／330≈73.5／330≈0.223（秒）

取修正时间为t=4-0.23=377(秒) 可得 h(377056577(米) 结论声速的影响远甚于空气阻力的影响 通过对模型的分析、检验,发现由于模型假 设不合理,考虑因素不合适造成模型不合理 需重新进行问题的前期分析工作

取修正时间为 t= 4－0.223= 3.777（秒） 可得 h(3.777)≈65.77(米) 结论 声速的影响远甚于空气阻力的影响. 通过对模型的分析、检验，发现由于模型假 设不合理, 考虑因素不合适,造成模型不合理. 需重新进行问题的前期分析工作

模型与模型解的分析与检验,通常需要做 以下几类工作 量纲一致性检验 2.假设的合理性检验; ●3.对模型参数的灵敏度分析 °4.模型及模型解的误差分析,分析误差 及误差的来源等 5.参数或变量的临界值;∴

⚫ 1. 量纲一致性检验； ⚫ 2. 假设的合理性检验； ⚫ 3. 对模型参数的灵敏度分析； ⚫ 4. 模型及模型解的误差分析，分析误差 及误差的来源等； ⚫ 5. 参数或变量的临界值；…… 模型与模型解的分析与检验，通常需要做 以下几类工作：