中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter5（4）二次曲面

Chapter 5(4) 次曲面的分

Chapter 5(4) 二次曲面的分类

八气 教学要求: 1.了解常用二次曲面的方程及其图形 2.会用截痕法求曲面的交线 K

教学要求： 1.了解常用二次曲面的方程及其图形; 2. 会用截痕法求曲面的交线

椭球面 二抛物面 三.双曲面 四.锥面 五.一般二次方程表示的曲面 K

一 .椭球面 二.抛物面 三.双曲面 四.锥面 五.一般二次方程表示的曲面

二次曲面与截痕法 二次曲面的定义: 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面 相应地平面被称为一次曲面 讨论二次曲面形状的截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后 加以综合,从而了解曲面的全貌 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面

二次曲面与截痕法 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．

椭球面 2 d3× 2 r y 2 (a2b,c>0) 2 2 (1)由方程有二,≤1,,≤1,2,≤1 J x≤a,y≤b,z≤ca,b,称为椭球面的半轴 (2)用坐标面截得椭球面与三个坐标面的交线: 2 十 十 b b Z=0 J x=0

一 .椭球面 1 ( , , 0) 2 2 2 2 2 2 + + = a b c  c z b y a x (1) 1, 1, 1 2 2 2 2 2 2    c z b y a x 由方程有  x  a, y  b, z  c a,b,c 称为椭球面的半轴. (2) 用坐标面截得椭球面与三个坐标面的交线： o z y x , 0 1 2 2 2 2      = + = z b y a x , 0 1 2 2 2 2      = + = y c z a x . 0 1 2 2 2 2      = + = x c z b y

(3)用平行于坐标面的截面去截 椭球面与平面z=1的交线为椭圆 2 2 1 b C -Z C -Z C C z=列 1aI<c 同理与平面x=x1和y=y的交线也是椭圆 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化

(3) 用平行于坐标面的截面去截 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 z = z1 的交线为椭圆 同理与平面 x = x1 和 y = y1 的交线也是椭圆.        = = − + − 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) z z c z c b y c z c a x | z | c 1 x y z

椭球面的几种特殊情况: 2 (1若a=b则方程为2+2+2=1旋转椭球面 由曲线{a2c2-绕轴旋转而成 0 旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面x=列(11kc)的交线为圆x∠2。22-x) (2)若a=b=c,则方程为x2+y2+z2=a2球面

椭球面的几种特殊情况: (1)若a = b, 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z a y a x 则方程为 旋转椭球面 . 0 1 2 2 2 2 由曲线 绕z轴旋转而成 y c z a x      = + = 旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z = z1 (| | ) 的交线为圆. 1 z  c      = + = − 1 2 1 2 2 2 2 2 ( ) z z c z c a x y (2)若a = b = c, 2 2 2 2 则方程为x + y + z = a 球面

二抛物面 1.椭圆抛物面 2P2=z(P与f同号) 十 用截痕法讨论:设p>0,q>0 (1)用坐标面xoy(z=0)与曲面相截 截得一点,即坐标原点O(0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 与平面z=z(x1>0)的交线为椭圆

二.抛物面 z q y p x + = 2 2 2 2 （ p 与 q 同号） 1. 椭圆抛物面 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy(z = 0) 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 O(0,0,0) 设 p  0, q  0 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 与平面 的交线为椭圆. 1 z = z ( 0) z1 

+=1当石变动时,这种椭 2pz 2q 圆的中心都在z轴上 与平面z=1(x1<0)不相交 (2)用坐标面xOz(y=0)与曲面相截 x=2 pz 截得抛物线 =0 与平面y=y1的交线为抛物线 它的轴平行于z轴 顶点\0,y124)图回国

     = + = 1 1 2 1 2 1 2 2 z z qz y pz x 当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上. 1 z z 与平面 不相交. 1 z = z ( 0) z1  （2）用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截    = = 0 2 2 y x pz 截得抛物线 与平面 的交线为抛物线. 1 y = y      =       = − 1 2 2 1 2 2 y y q y x p z 它的轴平行于 z 轴 顶点       q y y 2 0, , 2 1 1

(3)用坐标面y0z(x=0),x=x1与曲面相截 均可得抛物线 p>0,q>0 p0)旋转抛物面

（3）用坐标面 yoz (x = 0) ， x = x1 与曲面相截 均可得抛物线. x y z o p  0, q  0 同理当 p  0, q  0 时可类似讨论. z x y o p  0, q  0 , 2 ( 0) 2 2 若p = q 则方程为x + y = pz p  旋转抛物面