中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter3 向量与向量空间小结

Chapter 2 向量与向量空间小结

Chapter 2 向量与向量空间小结

内容小结 向量的概念 直线及方程 向量的线性运算 平面及方程 向量向量的表示法2空间解直线方程的转化 代数]数量积 析几何距离 向量积 平面直线的关系 混合积 投影及公垂线 向量组的线性相关性 3.m维向量组向量组秩与极大无关组 及相关概念 向量空间 Schmidt正交化方法 K

一、内容小结 3. n维向量组 及相关概念 1. 向量 代数          混合积 向量积 数量积 向量的表示法 向量的线性运算 向量的概念 2. 空间解 析几何          投影及公垂线 平面直线的关系 距离 直线方程的转化 平面及方程 直线及方程 Schimidt       正交化方法 向量空间 向量组秩与极大无关组 向量组的线性相关性

内容小结 1.向量代数 向量概念 向量的 向量的 线性运犷 表示法 向量的积 数量积 混合积 向量积

一、内容小结 向量的 线性运算 向量的 表示法 数量积 混合积 向量积 向量的积 向量概念 1. 向量代数

(1)向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量 重要概念 向量的模、单位向量、零向量、 自由向量、相等向量、负向量、 平行向量、向径 K

(1)向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 自由向量、 相等向量、 负向量、 向径. 重要概念: 向量的模、单位向量、零向量、 平行向量

(2)向量的线性运算 +b=c 1)加法:a+b=c 日D口 2)减法:a-b=d a-b=d 3)向量与数的乘法 设是一个数,向量与的乘积a规定为 (1)元>0,A与d同向,|n|=2|a (2)=0,An=0 (3)4<0,M与反向,|M科|·|a

1) 加法： a b c    + = (2)向量的线性运算 a b d    a − =  b  2) 减法： a b c    + = a b d    − = 3) 向量与数的乘法： 设 是一个数，向量a  与 的乘积 a   规定为 (1)   0, a   与a 同向，| a | | a |    =  (2)  = 0, 0   a = (3)   0, a   与a 反向， | a | | | | a |    =  

(3)向量的表示法 向量的分解式:a=axi+upj+a2k 在三个坐标轴上的分向量: 向量的坐标表示式:a={ax,anp,a2} 向量的坐标:ax,ay,z 其中axa1,a2分别为向量在x,y,z轴上的投影 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 a+b=fax+bx, ay+by,az+bxj (ax +bxi+(av+byj+(az+bz)k K

向量的分解式： { , , } a = ax ay az  , , , . 其中ax, ay az 分别为向量在 x y z 轴上的投影 a ax i ay j az k     = + + 在三个坐标轴上的分向量： ax i ay j az k    , , 向量的坐标表示式： 向量的坐标： ax ay az , , (3)向量的表示法 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 { , , } a + b = ax + bx ay + by az + bz   ax bx i ay by j az bz k    = ( + ) + ( + ) + ( + )

b={ z2-b2} (ax -br)i+( 公 )j+(a2-b2)k na=Mar, nav, naz=(ha +(amn,)j+(1n2)k 向量模长的坐标表示式|aF=ax2+ay2+a2 向量方向余弦的坐标表示式 cosa= 2 cos B 2 2 +,+a a、-+a1n+ cos a+cos B+cosy=1) COSY= 2 ax tay taz a=(cos a, cos B, cos r

{ , , } a − b = ax − bx ay − by az − bz   { , , } a = ax ay az  ax bx i ay by j az bz k    = ( − ) + ( − ) + ( − ) ax i ay j az k    = ( ) + ( ) + ( ) 2 2 2 | | a = ax + ay + az  向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式 2 2 2 cos x y z x a a a a + +  = 2 2 2 cos x y z y a a a a + +  = 2 2 2 cos x y z z a a a a + +  = ( cos cos cos 1 ) 2 2 2  +  +  = ( cos ,cos ,cos ) 0 a =    

(4)数量积(点积、内积) d·b=‖bcob其中b为与b的夹角 数量积的坐标表达式ab=abx+a1b+ab 两向量夹角余弦的坐标表示式 b、+a,b,+Lb xx zZ coS B= 2 +an,2+an2、b2+b,+b 2 b a、b.+a.b,.+a.b.=0 aB=aPrjaB=BPrjBa

(4)数量积（点积、内积） a b | a || b | cos      = 其中 为a  与b  的夹角 a b = axbx + ayby + azbz   数量积的坐标表达式  a b   ⊥ axbx + ayby + azbz = 0 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式    Pr   Pr .            = j = j

(5)向量积(叉积、外积) c|=l‖b|sin其中叛与的夹角 c的方向既垂直于a,又垂直,指向符合右手系 j k 向量积的坐标表达式a×b b b. b ∥b ax月为以a,为邻边的平行四边形的面积

(5)向量积（叉积、外积） | c | | a || b |sin    = 其中 为a  与b  的夹角 c 的方向既垂直于a  ，又垂直于b  ，指向符合右手系. 向量积的坐标表达式 x y z x y z b b b a a a i j k a b       = a b   // z z y y x x b a b a b a = =   为以, 为邻边的平行四边形的面积.     

(6)混合积 (ab)=(a×b)C=bb,b 混合积(a6)是一个数,它的绝对值表示以 向量a,B,y为棱的平行六面体的体积 a,B,面台(cpy)=0 K

(abc)    a b c    = (  ) x y z x y z x y z c c c b b b a a a = (6)混合积 , , . ( ) , 向量 为棱的平行六面体的体积 混合积 是一个数 它的绝对值表示以           , ,  ( ) = 0.       共面