中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter1（7）多元函数的极值及应用

Chapter 1(7) 函数的极值及应用

Chapter 1(7) 多元函数的极值及应用

教学要求: 1.理解多元函数极值和条件极值的概念; 2.掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件; 3.会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值; 4.会求简单多元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题 K心

教学要求： 1. 理解多元函数极值和条件极值的概念; 3. 会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值; 2. 掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件; 4. 会求简单多元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题

A 多元函数的极值 二多元函数的最大值和最小值 三条件极值与拉格朗日乘数法 K

一 .多元函数的极值 二.多元函数的最大值和最小值 三.条件极值与拉格朗日乘数法

一.多元函数的极值 1.二元函数极值的定义 设z=f(x,y)在U(B(x0,y)2内有定义,对于一切 异于P的点P(x,y),若都适合不等式 f(x, y)f(xo, yo) 则称z=f(x,y)在P(x0,y)有极大值或极小值(x0,y) 极大值与极小值统称为极值.P0(x,y)为极值点 若引进点函数,则当f(P)f(P)时,f()为极小值 K心

一 .多元函数的极值 1.二元函数极值的定义 异于 的点 若都适合不等式 设 在 内有定义 对于一切 ( , ), ( , ) ( ( , ), ) , 0 0 0 0 P P x y z = f x y U P x y  ( , ) ( , ) 0 0 f x y  f x y 则称z = f (x, y)在P0 (x0 , y0 )有极大值 ( ( , ) ( , )) 0 0 或f x y  f x y ( , ). 0 0 或极小值f x y 极大值与极小值统称为极值. ( , ) . P0 x0 y0 为极值点 若引进点函数, 则 ( ) ( ) , ( ) ; 当f P  f P0 时 f P0 为极大值 ( ) ( ) , ( ) . 当f P  f P0 时 f P0 为极小值

函数 z=3x2+4y2 在(0,0)处有极小值 函数z=-x2+y2 在(0,0)处有极大值 函数z=xy 在(0.,0)处无极值 K心

(1) (2) (3) 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y 在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = − x + y 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy

2极值存在的必要条件和充分条件 定理1(极值存在的必要条件) 设z=f(x,y)在(x0,%)具有偏导数,且在(x0,y)取得 极值,则x(x0,y)=0,f(x0,W)=0 Proo设z=f(x,y)在(x,y)取得极小值 则f(x,y)>f(x0,y), 取x=x0,y≠0,仍有f(x0,y)>f(x0,y), 表明一元函数(x0,y)在y=取得极小值 (x0,y)=0. 同理可证/x(x0,y)=0 K心

2.极值存在的必要条件和充分条件 定理1（极值存在的必要条件） , ( , ) 0, ( , ) 0. ( , ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 = = = f x y f x y z f x y x y x y 极值 则 x y 设 在 具有偏导数 且在 取得 Proof. ( , ) ( , ) , 设z = f x y 在 x0 y0 取得极小值 , , ( , ) ( , ), 0 0 0 0 0 取x = x y  y 仍有f x y  f x y ( , ) , 表明一元函数f x0 y 在y = y0取得极小值 ( , ) 0.  f y x0 y0 = ( , ) 0. 同理可证fx x0 y0 = ( , ) ( , ), 0 0 则f x y  f x y

注意: (1)若x(x0,y0)=0,fy(x0,)=0,则称(x0,y) 为z=f(x,y)的驻点 (2)z=f(x,y)在极值点处的切平面为z=孤0, 平行于xoy面 (3)如果三元函数u=f(x,y,x)在点P(x0,y0,z)具有 偏导数,则它在P(x0,y0,z0)有极值的必要条件为 f2( 090940 )=0, f,(x 09y090 )=0, 090940 )=0 (4)驻点 极值点(可偏导函数) K心

注意: ( , ) . (1) ( , ) 0, ( , ) 0, ( , ) 0 0 0 0 0 0 为 的驻点 若 则称 z f x y f x y f x y x y x y = = = . (2) ( , ) , 0 平行于 面 在极值点处的切平面为 xoy z = f x y z = z (3) 如果三元函数u = f ( x, y,z)在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具有 偏导数，则它在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， fz (x0 , y0 ,z0 ) = 0. (4)驻点 极值点（可偏导函数）

定理2(极值存在的充分条件) 设z=f(x,y)在U(B,连续,且有一阶及二阶连续 偏导数,又fx(x0,y0)=0,fy(x0,)=0, A A=fxx(xo,yo), B=xy(xo, yo), C=fy,(xo, yo), 则(1)当C-B2>0时,有极值, A0时有极小值 (2)当AC-B2<0时,没有极值; (3)当4C-B2=0时,为可能极值需另作讨论 K心

定理2（极值存在的充分条件） , ( , ) ( , ) , 0 偏导数 设z = f x y 在U P  内连续 且有一阶及二阶连续 ( , ) 0, ( , ) 0, 又 fx x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ), ( , ), ( , ), 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y 令 = x x = x y = yy (1) 0 , , 则 当AC − B 2  时 有极值 A 0时有极大值, A  0时有极小值; (2) 0 , ; 当AC − B 2  时 没有极值 (3) 0 , , . 当AC − B 2 = 时 为可能极值 需另作讨论

求函数z=f(x,y)极值的一般步骤: 第一步解方程组∫(x,y)=0,J(x,y)=0 求出实数解,得驻点 第二步求/x(x,y),fx(x,y),fn(x,y 第三步对于每一个驻点(x0,y0), 求出二阶偏导数的值A、B、C. 第四步定出AC-B的符号,再判定是否是极值 K心

求函数z = f (x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f (x, y) = 0, x f (x, y) = 0 y 求出实数解，得驻点. f (x, y), f (x, y), f (x, y). 第二步 求 xx xy yy 第三步 对于每一个驻点( , ) 0 0 x y ， 求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第四步 定出 2 AC − B 的符号，再判定是否是极值

3 ex1求f(x,y)=x3+y3+y2-3x2+1的极值 2 fx=3x2-6x=0x=0,x=2 Solution.(1)由 得 fy=3y 2 J 3y=0y=0,y 驻点有(0,0),(0,-1)2(2,0)(2,-1) (2)4=fx=6x-6,B=fxy=0,C=fm=6y+3 (3)在(0,0)处4=-60,有极大值; K心

3 1 . 2 3 1. ( , ) ex 求f x y = x 3 + y 3 + y 2 − x 2 + 的极值 Solution. 0, 1 0, 2 = = − = = y y x x 驻点有(0,0),(0,−1),(2,0),(2,−1) = = 0, xy B f C = f yy = 6 y + 3 (3)在(0,0)处A = −6  0, B = 0,C = 3, 在(0,−1)处A = −6  0, B = 0,C = −3, 由 得     = + = = − = 3 3 0 3 6 0 (1) 2 2 f y y f x x y x (2)A = f = 6x − 6, xx 18 0, ; AC − B 2 =  有极大值 18 0, ; AC − B 2 = −  无极值