中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter5(2)一阶线性微分方程

Chapter 5(2) 与一阶线微 冈图D

教学要求 (1)掌握一阶线性微分方程的解法; (2)会解齐次方程、贝努利方程、全微分方程; (3)会用简单的变量代换解某些微分方程 圆心
教学要求 (1) 掌握一阶线性微分方程的解法; (2) 会解齐次方程、贝努利方程、全微分方程; (3) 会用简单的变量代换解某些微分方程

齐次方程 二.可化为齐次的方程 三.一阶线性微分方程 四.贝努利方程 五.全微分方程 心
一.齐次方程 三.一阶线性微分方程 四.贝努利方程 二.可化为齐次的方程 五.全微分方程

齐次方程 1.定义: 形如=f()或=v()的微分方程称为齐次方程 dy yx 如dx r zy (x°+y)dx-3xy2dy=0 对于P(x,y)ldx+Q(x,y)dy=0, P(x,y),Q(x,y)为同次齐次函数
一、齐次方程 1. 定义: ( ) ( ) y x y x y f dx dy 形如 或 的微分方程称为齐次方程. , 2 y x x y dx dy 如 ( ) 3 0. 3 3 2 x y dx xy dy ( , ), ( , ) . ( , ) ( , ) 0, 为同次齐次函数 对于 P x y Q x y P x y dx Q x y dy

2.解法: 作变量代换u=,即y=x, 小y =u+x dx 代入原式a+x,=f(un), 即 du f(u)-u 可分离变量的方程 两边积分∫ L ∫(u)-lJx 积出结果用代u才得所求齐次方程的通解 心
2. 解法: , x y 作变量代换 u 即 y xu, 代入原式 , dx du u x dx dy f (u), dx du u x . ( ) x f u u dx du 即 可分离变量的方程 x dx f u u du ( ) 两边积分 积出结果用 代u才得所求齐次方程的通 解. x y

Example 1.求解微分方程 (x-ycos") dx +xcosdy=0. Solution.令n=,则y=xl→hy=xn+udx (x-ux cos u )d xcosu(udx + xdu)=0, cosudu= sinu=-Inlx+C 微分方程的解为siny=-lmx+C
Example 1. 求解微分方程 ( cos ) cos dy 0. x y dx x x y x y 令 , x y u 则 y xu, (x uxcosu)dx xcosu(udx xdu) 0, cos , x dx udu sinu ln x C, sin ln x C. x y 微分方程的解为 Solution. dy xduudx

Example2.设「12()+2+p2(O)= 且当x=1时y=0,求y(x) Solution原方程两边求导得x+y=2y+x2+y2 +11+ d y au L,则y=x, u+x dx dx 代入并化简得x d =√1+l 分离变量得 dx 1+L 2 圆心
Example 2. 1 0, ( ). [2 ( ) ( )] , 0 2 2 x y y x y t t y t dt xy x 且当 时 求 设 Solution.原方程两边求导得 2 , 2 2 xy y y x y 1 . 2 2 x y x y 即 y u, y xu, x y 令 则 , dx du u x dx dy 代入并化简得 1 , 2 u dx du x , 1 2 x dx u du 分离变量得

两边积分得Inu+1+l2=lnx+lnC 将n=”代入化简得所求通解为y+x2+y2=Cx2 又当x=时y=0,则得C=1 所求特解为y+x2+y2=x2 圆心
ln u 1 u ln x lnC 2 两边积分得 . 2 2 2 y x y Cx x y 将u 代入化简得所求通解为 又当x 1时y 0,则得C 1. . 2 2 2 所求特解为 y x y x

二、可化为齐次的方程 1.定义:形如可=∫ ax+ by+c )的微分方程 ax+b,y+CI 当c=c1=0时,为齐次方程否则为非齐次方程 2.解法:令 x=X+h dx =d dy= dy y=r+k ah+bk +c=0 dy aX+bY+ah+bk+c、令 f( la,h+b,k+C1=0 q1X+b+ah+bk+C求得hk. 从而=f( aX+br )为齐次方程 a,X+br 圆心
二、可化为齐次的方程 形如 ( )的微分方程 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy 0 , 为齐次方程. 当c c1 时 , y Y k x X h 令 dx dX, dy dY 否则为非齐次方程. ( ) 1 1 1 1 1 a X b Y a h b k c aX bY ah bk c f dX dY 2.解法: 1.定义: , . 0 0 1 1 1 h k a h b k c ah bk c 求得 令 ( ) . 1 1 从而 为齐次方程 a X b Y aX bY f dX dY

Example3.求 中yx-y+1 的通解 dx x+ y-3 h-k+1=0 Solution.由 h+k_3,→h=1,k=2 令x= X+1,y Y+2 代入原方程得 dr X-Y dX X+y 令u Y X 方程变为u+X au L dX 1+u 心
. 3 1 求 的通解 x y x y dx dy Solution. , 3 0 1 0 h k h k 由 h 1, k 2. 令 x X 1, y Y 2. , X Y X Y dX dY 代入原方程得 令 , X Y u Example 3. , 1 1 u u dX du u X 方程变为
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