中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter5（5）微分方程的简单应用

Chapter 5(5) 程的简单心

Chapter 5(5) 微分方程的简单应用

教学要求 1.会用微分方程(或方程组)解决一些简单的应用问题 K

教学要求 1. 会用微分方程(或方程组)解决一些简单的应用问题

微分方程在几何中的应用举例 微分方程在物理学中的应用举例 其它应用举例 K

一 . 微分方程在几何中的应用举例 二. 微分方程在物理学中的应用举例 三. 其它应用举例

微分方程在几何中的应用举例 通过根据几何量之间的关系列出含有微分或积分的 表达式,再求解 K

一、微分方程在几何中的应用举例 通过根据几何量之间的关系列出含有微分或积分的 表达式，再求解

ex1.在连接点4(0,1)和点B(1,0)的一条向上凸的曲线 上任取一点P(x,y),已知曲线与弦AP之间的面积为x3 求此曲线方程 y Solution.设所求曲线方程为y=yx),40) 由已知条件得 P(x,y) -pr or (1+y)x=x B(1,0)x 两边对x求导整理得y--y 6x dx J IG--6x)e'x dx+C]=x(-6x+C) 由y(1)=0,得C=5.∴y=-6x2+5x+1

ex1. 在连接点A(0,1)和点B(1,0)的一条向上凸的曲线 上任取一点P(x, y)，已知曲线与弦AP之间的面积为x 3 , 求此曲线方程. Solution. o x y A(0,1) B(1,0) P(x, y) 设所求曲线方程为y = y(x)， 由已知条件得 3 0 (1 ) 2 1 ydx y x x x  − + = 两边对x求导整理得 x x y x y 6 1 1  − = − − 6 ) ] 1 [ ( 1 1 x e dx C x y e dx x dx x +  − −   =  − 6 ) 1 ( x C x = x − + 由y(1) = 0, 得C = 5. 6 5 1. 2  y = − x + x +

ex2.在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 P(x1)处的曲率等于此曲线在该点的线段PQ长度的倒 数(Q是法线与x轴的交点)且曲线在点(1,1)处的切 线与x轴平行 Solution.设曲线方程为y=y(x), 则在P(处的曲率为K=少2 (y">0) 孓n2 曲线y(x)在点P(xy)处的法线方程为 Y (X-x)(y≠0 它与x轴的交点为(x+yy,) K

ex2. 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的线段PQ长度的倒 数（Q是法线与x轴的交点）且曲线在点(1,1)处的切 线与x轴平行. Solution. 设曲线方程为y = y(x), 则在P(x,y)处的曲率为 2 3 (1 ) 2 y y K +   = ( y  0) 曲线y=y(x)在点P(x,y)处的法线方程为 ( ) ( 0) 1 −    − = − X x y y Y y 它与x轴的交点为 (x + yy ,0)

PQ=(0)2+y2=y1+y2 从而 (1+y2)2y1+y 2 yy"=1+y 2 y(1)=1 y(1)=0 由可降阶微分方程的解法得到通解,并求得特解

2 2 2  PQ = ( yy) + y = y 1+ y 2 2 1 1 (1 ) 2 3 y y y y +  = +   从而       = +   2 yy 1 y y(1) = 1 y(1) = 0 由可降阶微分方程的解法得到通解, 并求得特解

ex3.假设 (1)函数y=f(x)(0≤x<+o)满足条件f(0)=0和 ≤f(x)<e2 (2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和 y=ex-1分别相交于点和P2; (3)线y=f(x),直线MN与x轴所围封闭图形 的面积S恒等于线段PP的长度 求函数y=f(x)的表达式 Solution.如图所示. K

ex3. 假设 ( ) . ; (3) ( ), 1 ; (2) ( ) 0 ( ) 1; (1) ( )(0 ) (0) 0 1 2 1 2 求函数 的表达式 的面积 恒等于线段 的长度 曲线 直线 与 轴所围封闭图形 分别相交于点 和 平行于 轴的动直线 与曲线 和 函数 满足条件 和 y f x S P P y f x MN x y e P P y MN y f x f x e y f x x f x x = = = − =   − =   + = Solution. 如图所示

依题意可得, Jo f(x)dx=e-1-f()f(0)=0 方程两边求导并化简得, e ∫(x)+∫(x)=e y7f(r f(x)=e(edx+C) ex(edx+C) 中c +ce x 由f(0)=0得C 2’∴∫(x) x∠已 e 2

o x y = −1 x y e y = f (x) M N P1 P2 依题意可得, ( ) 1 ( ) 0 f x dx e f x x x  = − − 且f (0) = 0 方程两边求导并化简得, x f (x) + f (x) = e f (x) e ( e e dx C) dx x dx +    =  − ( ) 2 e e dx C x x =  + − x x e Ce− = + 2 1 , 2 1 由f (0) = 0得C = − ( ). 2 1 ( ) x x f x e e −  = −

ex4.求一曲线,使由曲线上任一点的切线、两坐标轴 和过切点平行于纵轴的直线围成的梯形面积等于3m2 Solution.如图所示, 设曲线为y=(x,切点为P(x,1 y(x) 则切线方程为y-y=y(X-x) 与y轴的交点为(0,y-xy) (x,y) 3 从而 y+y-x x=3 2 即(2y-xy)x=6a2 求解此一阶线性微分方程即可得所求曲线方程 K

ex4. 求一曲线，使由曲线上任一点的切线、两坐标轴 和过切点平行于纵轴的直线围成的梯形面积等于 3 . 2 a Solution. 如图所示， o x y y = y(x) P(x, y) 2 3a 设曲线为y = y(x),切点为P(x, y). 则切线方程为 Y − y = y(X − x) 与y轴的交点为 (0, y − xy) 2 3 2 x a y y xy = + −  从而 2 即 (2y − xy)x = 6a 求解此一阶线性微分方程即可得所求曲线方程