中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter5（4）二阶常系数线性微分方程与Euler方程

Chapter 5(4) 系数线性微 方程与Eur

Chapter 5(4) 二阶常系数线性微 分方程与Euler方程

教学要求 (1)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法; (2)会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程; (3)会求自由项为exPn(x)和 e[P(x)cos ax+Pn(x)sin ax 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解; (4)会解 Euler方程

教学要求 (1) 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法; (2) 会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程; ; [ ( )cos ( )sin ] (3) ( ) 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 会求自由项为 和 e P x x P x x e P x l n x m x     + (4) 会解Euler方程

二阶常系数齐次线性微分方程 阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 四. Euler方程 K

一 . 二阶常系数齐次线性微分方程 二. n阶常系数齐次线性微分方程 三. 二阶常系数非齐次线性微分方程 四. Euler方程

二阶常系数齐次线性微分方程 1.关于y"+py+qy=0的通解讨论 设y=e"是y"+py+g=0的解,r待定 =re ,y=r e 将其代入原方程,得(r2+pr+q)e=0 +p+q=0特征方程 4 2 K

一、二阶常系数齐次线性微分方程 1. 关于y  + py + qy = 0的通解讨论 设 y e 是y py qy 0的解,r待定. rx =  +  + = , . rx 2 rx 则y = re y = r e 将其代入原方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0 2 r + pr + q = 特征方程 . 2 4 2 1,2 p p q r −  − =

有两个不相等的实根△>0 特征根为=p+、D2-4,n1=D-、M 2 2 两个线性无关的特解 V,=ei- 12 2 得齐次方程的通解为y=C1e+C2e; K

有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e +C e (  0) 特征根为

有两个相等的实根(△=0) P 特征根为r1=122’一特解为y1=e1, 设另一特解为y2=u(x)l1, 将 y代入原方程并化简 n+(2r+p)+(r2+pr1+q)u=0, 知u"=0,取u(x)=x,则y2=xe 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e K

有两个相等的实根 , 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − ( = 0) 一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e 将 y2 ，y2  ，y2  代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 特征根为

有一对共轭复根(△<0) 特征根为 a+iB, 2=a-iB (a+iB)x 2≈g(a-iB)x 重新组合1=(y1+y2)= e cos Bic V2=(1-V2)=e sin Bix, 得齐次方程的通解为 y=e(C cos Bix+ C2 sin Br)

有一对共轭复根 , r1 =  + i , r2 =  − i , ( ) 1 i x y e +  = , ( ) 2 i x y e −  = (  0) 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e cos x, x   = ( ) 2 1 2 1 2 y y i y = − e sin x, x   = 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). y e C1 x C2 x x    = + 特征根为

2.求解y"+py+qy=0的步骤 (1)写出特征方程r2+p+q=0 (2)求出特征方程的根n1,n (3)由n1,n2的情况写出通解: 两不等实根≠n)时,y=C1e1+C2e2 两相等实根n=n=r)时,y=(C1+C2x)e 对共轭复根n,2=a±i)时 y=e(C cos &x+ C2 sin Br)

2. 求解y + py + qy = 0的步骤 (1) 0 2 写出特征方程 r + pr + q = 1 2 (2) 求出特征方程的根 r ,r (3) , : 由 r1 r2 的情况写出通解 ( ) , 两不等实根 r1  r2 时 r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 ( ) , 两相等实根 r1 = r2 = r 时 rx y (C C x)e = 1 + 2 ( ) , 一对共轭复根 r1,2 =  i 时 ( cos sin ). y e C1 x C2 x x    = +

Example1.求解下列微分方程(1)y+2y-3y=0, (2)y"-2y+y=0,(3)y+4y+5y=0, (4)y"-4y3=0,(5)y"+y=0 Solution.(1)特征方程为r2+2r-3=0, 解得n=1,n2=-3 故所求通解为p=Ce+C2e-3x (2)特征方程为r2-2r+1=0, 解得 故所求通解为y=(C1+C2x)e K

Example 1. 求解下列微分方程 (1) y + 2 y − 3 y = 0, (2) y − 2 y + y = 0, (3) y + 4 y + 5 y = 0, (4) y − 4 y = 0, (5) y + y = 0. Solution. (1)特征方程为 2 3 0, 2 r + r − = 解得 r1 = 1,r2 = −3 故所求通解为 . 3 1 2 x x y C e C e − = + (2)特征方程为 2 1 0, 2 r − r + = 解得 r1 = r2 = 1 故所求通解为 ( ) . 1 2 x y = C + C x e

(3)特征方程为r2+4r+5=0, 解得n12=-2±i 故所求通解为y=e2X(C1cosx+C2sinx) (4特征方程为r2-4r=0, 解得r=0,n=4 故所求通解为p=C1+C2e4x (5)特征方程为r2+1=0, 解得n12=±i 故所求通解为y=C1cosx+C2sinx K

(3)特征方程为 4 5 0, 2 r + r + = r = −2  i 解得 1,2 故所求通解为 ( cos sin ). 1 2 2 y e C x C x x = + − (4)特征方程为 4 0, 2 r − r = 解得 r1 = 0,r2 = 4 故所求通解为 . 4 1 2 x y = C + C e (5)特征方程为 1 0, 2 r + = r = i 1,2 解得 故所求通解为 cos sin . y = C1 x + C2 x