中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter4(6)Gauss公式与通量

Chapter 4(6 Gaus公式与通量
Chapter 4(6) Gauss公式与通量

教学要求: 1.了解Gaus式; 2.会用 Gauss公式计算曲面积分 3.了解通量与散度的概念并会计算 K<DD
教学要求: 1. 了解Gauss公式; 2. 会用Gauss公式计算曲面积分; 3. 了解通量与散度的概念并会计算

一.GauS公式 沿闭曲面的曲面积分为零的条件 通量与散度 四.综合题解 K心
一 .Gauss公式 二.沿闭曲面的曲面积分为零的条件 三.通量与散度 四.综合题解

Gaus公式 高斯公式或奥氏公式或奥高公式 定理1 (1)设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ所围成; (2)P(x,y,z),Q(x,y,z,R(x,y,z)在Ω2上有一阶连续偏导; 则∫ OP 00 OR Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=J(+ +ody ∑ Q x ay a 或∫( Pcos a+ 2cos B+ Rcos y)dS=∫ OP 00 OR +=2+-)dh ∑ 其中∑是9的整个边界曲面的外侧,cosa,cosB,c0s是 ∑上点(x,y,z)处的外法向量的方向余弦 K心
一 .Gauss公式 ——高斯公式或奥氏公式或奥高公式 定理1. (1)设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成; (2)P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在上有一阶连续偏导; + + + + = dv z R y Q x P 则 Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) + + + + = dv z R y Q x P 或 (Pcos Qcos Rcos )dS ( ) ( , , ) . , cos , cos , cos 上点 处的外法向量的方向余弦 其中 是 的整个边界曲面的外侧 是 x y z

Proof (1)设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不多于两 个,如图 设闭区域在xOy面上的投 影区域为D xy Σ由∑,∑2和Σ3三部分组成, ∑1:z=x1(x,y,取下侧 ∑2:z=z2(x,y),取上侧 J ∑3,取外侧 且Ω={(x,y,列)a1(x,y)≤z≤2(x,y)2(x,y)∈Dxy} K心
Proof. (1)设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不多于两 个,如图 x y z o 设闭区域 在xoy 面上的投 影区域为Dxy. Dxy 由1 ,2和3 三部分组成, 1 : ( , ), ; 1 z = z1 x y 取下侧 2 : ( , ), ; 2 z = z2 x y 取上侧 3 , . 3 取外侧 {( , , )| ( , ) ( , ),( , ) } 1 2 Dxy 且 = x y z z x y z z x y x y

根据三重积分的计算法 OR 2(x,D)OR dzjdxdy z z(x,y)dz =∫xy,z(x,y-x,y,a(x,ya小 rey 根据曲面积分的计算法 手R(x,y,z)d=』Rdd+』Rdd+』Rd小 ∑ 2 3 II RIx, y, z(x, y)ldxdy+Rx, y, z2(x, y))dxdy+0 D D OR Jb=∫R(x,y) K心
根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dv z R Dxy z x y z x y = { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . = 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) , 1 2 3 R x y z dxdy = Rdxdy + Rdxdy + Rdxdy = − Dxy R[x, y,z (x, y)]dxdy 1 + Dxy R[x, y,z (x, y)]dxdy 2 + 0 ( , , ) . = dv R x y z dxdy z R

同理,Ω={(x,y,列)y1(x,z)≤y≤y2(x,,(x,x)∈Dx} 0 dv=日 oddi Q ∑ C2={(x,y,z)|x1(,z)≤xsx2(,z),(yz)∈D1z OP dv=h Pdvd ax Q ∑ 三式相加得, OP 00 OR Ox ay az )db= ff Prydz+d+Rdh小 ∑ (2)当平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个 时,引进辅助曲面分成多个(1)中的区域,可得结论 K心
同理, {( , , )| ( , ) ( , ),( , ) } 1 2 Dxz = x y z y x z y y x z x z , = dv Qdzdx y Q {( , , )| ( , ) ( , ),( , ) } 1 2 Dyz = x y z x y z x x y z y z , = dv Pdydz x P 三式相加得, ( ) . = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P (2)当平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个 时,引进辅助曲面分成多个(1)中的区域,可得结论

注意: (1)Gaus公式的实质:表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系 (2)GauS公式可用来简化某些曲面积分的计算. (3)不是封闭曲面时,添加辅助面后可用Gaus公式 (4)使用 Gauss公式时应考虑:P,Q,R是对什么变量求偏 导,是否有连续偏导,是否是闭曲面的外侧 如果是闭曲面的内侧,则在三重积分号前添“-”号! (5)可用曲面积分计算空间区域的体积:0 小y OI OI =3+yh+小=xh=y K心
注意: (1) Gauss公式的实质:表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. (2) Gauss公式可用来简化某些曲面积分的计算. (3) 不是封闭曲面时, 添加辅助面后可用Gauss公式. (4) 使用Gauss公式时应考虑: P,Q,R是对什么变量求偏 导, 是否有连续偏导, 是否是闭曲面的外侧. 如果是闭曲面的内侧, 则在三重积分号前添“−”号! (5) 可用曲面积分计算空间区域的体积: V = xdydz + ydzdx + zdxdy 3 1 = xdydz or = ydzdx or = zdxdy or

erl计算∫y(x-2)dd+x2+(y2+x)tcd 其中Σ是第一卦限内边长为a的正方体表面并取外侧 Solution.记Σ所围的区域为g,利用Gaus公式,有 原式= aP 80 aR X OL )dv ox a Q ∫j(y+x)tdt 0-000(y+x)dz K心
Solution. 记所围的区域为, 利用Gauss公式,有 + + = dv z R y Q x P 原 式 ( ) = ( y + x)dxdydz = + a a a dx dy y x dz 0 0 0 ( ) . 4 = a 1. ( ) ( ) , 2 2 ex 计算 y x − z dydz + x dzdx + y + xz dxdy 其中是第一卦限内边长为a的正方体表面并取外侧

ex2.计算曲面积分(x-y)+(y-z)xd小tz,其 中∑为柱面x2+y2=1及平面z=0,3=3所围成 的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 Solution.利用Gaus公式,得 原式= OP O0 OR +-+-)dv ax ay az =∫(y-)xdhz ∫ (rsin 6-z) edz 2兀 0-075mb-xts9兀 2 K心
ex2.计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz ,其 中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平面z = 0,z = 3所围成 的空间闭区域的整个边界曲面的外侧. Solution. o x y z 1 1 3 利用Gauss公式, 得 + + = dv z R y Q x P 原 式 ( ) = ( y − z)dxdydz = (rsin − z)rdrddz = − 3 0 1 0 2 0 d rdr (rsin z)dz . 2 9 = −
按次数下载不扣除下载券;
注册用户24小时内重复下载只扣除一次;
顺序:VIP每日次数-->可用次数-->下载券;
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter4(5)第二类曲面积分.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter4(4)第一类曲面积分.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter4(3)Green公式及应用.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter4(2)第二类曲线积分.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter4(1)第一类曲线积分.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter3(1)广义积分.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter2(6)重积分小结.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter2(5)重积分的应用.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter2(4)重积分的换元法.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter2(3)三重积分的计算.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter2(2)二重积分的计算.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter2(1)重积分的概念与性质.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter1(8)多元函数微分学小结.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter1(7)多元函数的极值及应用.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter1(6)偏导数的几何应用.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter1(5)隐函数微分法.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter1(4)复合函数微分法.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter1(3)方向导数与梯度.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter1(2)偏导数与全微分.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter1(1)多元函数的概念、极限与连续.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter4(7)Stokes公式及环量与旋度.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter4(8)曲线积分与曲面积分.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter4(8)曲线积分与曲面积分小结.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter5(1)微分方程的基本概念.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter5(2)一阶线性微分方程.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter5(3)可降阶的高阶微分方程.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter5(4)二阶常系数线性微分方程与Euler方程.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter5(5)微分方程的简单应用.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter5(6)微分方程小结.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程PPT教学课件(微积分案例题解)chapter5(7)微分方程自测题.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程教学资源(微积分案例题解)练习一.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程教学资源(微积分案例题解)练习二.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程教学资源(微积分案例题解)练习三.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程教学资源(微积分案例题解)练习四.ppt
- 中南大学:《大学数学》课程教学资源(微积分案例题解)练习五.ppt
- 中科院研究生院专业基础课:《图论与网络流理论》第一章 习题(高随祥).pdf
- 中科院研究生院专业基础课:《图论与网络流理论》第一章 图的基本概念 Graph Theory and Network Flow Theory(高随祥).pdf
- 中科院研究生院专业基础课:《图论与网络流理论》第二章 图的连通性(高随祥).pdf
- 中科院研究生院专业基础课:《图论与网络流理论》第三章 匹配理论(高随祥).pdf
- 中科院研究生院专业基础课:《图论与网络流理论》第四章 Euler图和Hamilton图(高随祥).pdf