中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter4（8）曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分 K心心

曲线积分与曲面积分

直接计算法比较 曲线积分 对坐标的曲线积分方法:一代二换三定限 LP(x, y)dx+o(x,y)dy ly=y(t) 从a→B PPIPIp(0), v(tlo'()+2lp(6),y(t)ly'(t)]dt P(x,y,z+Q(x,y,)小+R(x,y,孔)d x=p(t z =o(t) ∫Pg(,(),m()l'( t从a→>Ba +QIq(t,y(t),m(t)y(t)+Rp(t),y(t),m(t)lm'(t)t

直接计算法比较 一、曲线积分 对坐标的曲线积分 P x y dx Q x y dy C ( , ) + ( , )   P t t t Q t t t dt y t x t t { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( ) ( )             ====  +   = = 从 → 方法：一代二换三定限 P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz  Q t t t t R t t t t dt P t t t t z t y t x t t [ ( ), ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( )} { [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( )                    +  +  ====       = = = 从 →

对坐标的曲面积分方法:一代二投影三正向 曲∫P(x,y,z)hyh+Q(x,y,)h+R(x,,2h 面积 z=z(x,y) 分∥ R(x,,z)d=士』x,y,(x,y) D 上侧取"+"下侧取 x=x(y, z) P(x,y,x地==士Px(,z, ∑ 前侧取"+"后侧取'-" ∫(x,y,)d==士QDx,y(x,x),ztac ∑ 右侧取"+"左侧取"-" 注意:对xy的曲面积分投影到xoy面;对yz的曲面积分投影到 y0z面;对乙x的曲面积分投影到zox面

二 . 曲 面 积 分 对坐标的曲面积分 P(x, y,z)dydz + Q(x, y,z)dzdx + R(x, y,z)dxdy    R x y z dxdy R x y z x y dxdy Dx y z z x y   ====   =  ( , , ) [ , , ( , )] ( , ) 上侧取"+"下侧取"−" P x y z dydz P x y z y z dydz Dyz x x y z   ====   =  ( , , ) [ ( , ), , ] ( , ) 前侧取"+"后侧取"−" Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx Dzx y y z x  ====  =  ( , , ) [ , ( , ), ] ( , ) 右侧取"+"左侧取"−" 方法：一代二投影三正向 注意：对x,y的曲面积分投影到xoy面；对y,z的曲面积分投影到 yoz面；对z,x的曲面积分投影到zox面

Gren公式、Gaus公式比较 Green公式 a0 aP ax addy=f, pdx+ody=SL(P cosa+2 cos B yds, 其中L是D的取正向的边界曲线 Gaus公式 a x oy B)dv=f Prydz+odzdx+rdxdy OO aR ax ∫( Pcos+Qcos+ Rosy s ∑是Ω的整个边界曲面的外侧 K心

Green公式、Gauss公式比较 Green公式 . ( ) ( cos cos ) , 其 中L是D的取正向的边界曲线 dxdy Pdx Qdy P Q ds y P x Q L L D   =  + =  +   −     Gauss公式 . (Pcos Qcos Rcos ) ( ) 是的整个边界曲面的外侧 = + + = + +   +   +           dS dV Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P   

exl计算∫ Icos(x+y2)+2yl+2ycos(x+y2)+3x1 其中L为y=sinx上自x=0到x=m的段弧 aP Solution 2-2ysin(x +y") O 00 3-2ysin(x +y) 元 添加辅助线AO,应用Gren公式, 原式= L+AO =「“- SInx 0 小y t cos xax K心

 + + + + + L ex1. [cos( x y ) 2 y]dx [2 ycos( x y ) 3x]dy 计算 2 2 其中L为y = sin x上自x = 0到x = 的段弧. Solution. x y o  2 2 sin( ) 2 y x y y P = − +    3 2 sin( ) 2 y x y x Q = − +   A 添加辅助线AO, 应用Green公式,  =  −  L+AO AO 原式 = − −  D AO dxdy = −  x dx dy sin 0 0  +   0 cos xdx = −2

ex2计算=y2zdcp+x2 yazd, ∑是第一卦限内抛物面=x2+y2(0≤z≤1的下侧 Solution.如图所示, 添加辅助1:x=0,取后侧 Σ2:y=0,取左侧 Σ3:z=1,取上侧 记Σ,∑1,Σ2,∑3围成的空间区域为g2,由Gaus公式有 ∫--- ∑+∑1+∑,+∑ K心

2. , 2 2    ex 计 算I = y zdxdy+ x ydzdx (0 1) . 是第一卦限内抛物面z = x 2 + y 2  z  的下侧 Solution. 如图所示， : 0, 添加辅助面1 x = 取后侧 : 0, 2 y = 取左侧 : 1, 3 z = 取上侧 x y z o 1 由Gauss公式有     + + +    = − − − 1 2 3 1 2 3 I , , , , 记 1 2 3围成的空间区域为

=∫cx2+y2)d-p2 d小y =∫ rrdrdedz-∫y2tcd 0≤r≤1 0≤6≤ j2 dedrdrl2 dz-J2sin20doordr 元 48 K心

  = (x + y )dv 2 2   − 3 2 y zdxdy . 48  = −   = r rdrddz 2 =    1 1 0 3 2 0 2 r d r dr dz        − 2 0 0 1 2   r y dxdy −   1 0 3 2 0 2 sin d r dr   

ex3设空间区域2由曲面z=a2-x2-y2与平面z=0围成, 其中a为正常数,记9表面的外侧为∑,9的体积为V,证明 fx2yzdydz-xy2zazdxz(1+ xyz)dxdy=v GaM公式 证明:左边 2xyz'-2xyz +1+2xyz dv =V +2Jxyzdv Ω对称于yoz面 xy关于x为奇函数 J K心

3. 0 , ex 设空间区域由曲面z = a 2 − x 2 − y 2与平面z = 围成 其中a为正常数，记Ω表面的外侧为∑，Ω的体积为V，证明 (1 ) . 2 2 2 2    x yz dydz − xy z dzdx + z + xyz dxdy =V 证明： xyz xyz xyz dV Gauss   ===== (2 − 2 + 1+ 2 ) 2 2 公 式 左 边 V  xyzdV  = + 2 V yoz xyz x 对称于 面 关于 为奇函数  ======== x y z o