中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter3（3）线性方程组小结

Chapter 3 线性方程组小结 K心D

Chapter 3 线性方程组小结

、内容小结 1.线性方程组的表示形式 2.齐次线性方程组 3.非齐次线性方程组 4.关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论 5.关于矩阵秩的几个结论 二、题型及方法 1.利用初等变换求解线性方程组 2.讨论线性方程组有唯一解、无穷多解、 无解的情况 3.与方程组解的结构相关的证明题 K心

一、内容小结 1. 线性方程组的表示形式 2. 齐次线性方程组 3. 非齐次线性方程组 4. 关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论 5. 关于矩阵秩的几个结论 二、题型及方法 1. 利用初等变换求解线性方程组 2. 讨论线性方程组有唯一解、无穷多解、 无解的情况 3. 与方程组解的结构相关的证明题

1.线性方程组表示形式 aux1+a12x2+.+anxn=by x1+a2x2+…+a2nxn=b2 amIni+am2x2+.+amen=bm 其中a;为方程组的系数b为方程组的常数项 若bk=0,则方程组为齐次的; 若b≠0,则方程组为非齐次的 方程组的矩阵形式:Ax=b 方程组的向量形式:x1a1+x2a2+…+xnan=b K心

1. 线性方程组表示形式        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 其中 为方程组的系数, 为方程组的常数项. aij bk 0, . 0, ; 若 则方程组为非齐次的 若 则方程组为齐次的  = k k b b 方程组的矩阵形式： Ax = b 方程组的向量形式： x11 + x22 ++ xnn = b

结论.对于Ax=b,下列四个命题等价: (1)Ax=b有解 (2)b可由a1,a2,…,an线性表示 (3)向量组(a1,a2,…,acn,b)与(a1,a2,…an)等价 (4)rank(a1,C2,…On,b)=rnk(a1,a2,…,On) 2.齐次线性方程组Ax=0 结论1.Ax=O有非零解兮→rnk(4)<n 结论2.Ax=O只有零解兮rnk(A)=n (若A为方阵则4≠0) K心

结论. 对于Ax = b,下列四个命题等价: (1) Ax = b有解 (2) , , , b可由1 2  n线性表示 (3) ( , , , , ) ( , , , ) 向量组 1 2  n b 与 1 2  n 等价 (4) ( , , , , ) ( , , , ) 1 2 n 1 2 n rank     b = rank     2. 齐次线性方程组Ax=O 结论1. Ax = O有非零解  rank(A)  n. 结论2. Ax = O只有零解  rank(A) = n. (若A为方阵,则A  0)

结论3若51=(k1,…,kn),2=(1,…,ln)是Ax=O的解 则ξ=51+2仍是4x=O的解 结论4若=(k1,…kn)是4x=O的解,λ∈R, 则λ仍是Ax=O的解 求Ax=O的通解的步骤 (1)将系数矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵; (2)当rmk(4)=m时,方程组只有零解 当rmnk(4)<m时,转到(3) (3)列出含有自由未知数的同解方程组; (4)将自由未知数用基本单位向量代入可得基础解系; (5)写出通觚=k15+k22+…+kn-Hnr K心

. ( , , ) , ( , , ) , 1 2 1 1 2 1 则 仍是 的解 若 是 的解 Ax O k kn l ln Ax O = + = =  =  =        . ( , , ) , , 1 则 仍是 的解 若 是 的解 Ax O k kn Ax O R = =  =      结论3. 结论4. 求Ax=O的通解的步骤 (1) 将系数矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵; (2)当rank(A) = n时,方程组只有零解, 当rank(A)  n时,转到(3) (3) 列出含有自由未知数的同解方程组; (4) 将自由未知数用基本单位向量代入可得基础解系; (5) . 写出通解x = k1  1 + k2  2 ++ kn−r  n−r

3非齐次线性方程组Ax=b 结论1.Ax=b相容(有解)兮rmk(4)=mmk(B) 结论2.rmnk(4)≠mmnk(B)台Ax=b不相容(无解) 结论3 Ax=b有唯一解分rmnk(4)=rmnk(B)=m(A的列数 结论4设x=m1及x=m2都是4x=b的解,则x=m1-m2 为对应的齐次方程组Ax=O的解 结论5设x=m是方程组Ax=b的解,x=是4x=O的解, 则x=2+m仍是方程组Ax=b的解 K心

3. 非齐次线性方程组Ax=b 结论1. Ax = b相容(有解)  rank(A) = rank(B). 结论2. rank(A)  rank(B)  Ax = b不相容(无解). 结论3. Ax = b有唯一解  rank(A) = rank(B) = n(A的列数). 结论4. . , 1 2 1 2 为对应的齐次方程组 的解 设 及 都是 的解 则 Ax O x x Ax b x = = = = = − 结论5. . , , 则 仍是方程组 的解 设 是方程组 的解 是 的解 x Ax b x Ax b x Ax O = + = = = = =    

结论6若m*是Ax=b的一个特解,ξ是Ax=0的通解, 则Ax=b的通解为x=m*+ 求解4X=b的步骤 (1)将增广矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵; (2)判断:r(4)≠r(B),方程组无解 r(A)=r(B)=n,方程组有唯一解 r(A)=r(B)<,方程组有无穷多解 (3写出含有自由未知数的同解方程组; (4)令自由未知数全为0得一个特解, 并求出Ax=O的基础解系 5)写出通解x=7+k151+…+kn-n=r K心

结论6. * . * , 0 ,     = = + = = Ax b x Ax b Ax 则 的通解为 若 是 的一个特解 是 的通解 求解AX = b的步骤 (1) 将增广矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵; (2) 判断: r(A)  r(B), 方程组无解. r(A) = r(B) = n, 方程组有唯一解. r(A) = r(B)  n, 方程组有无穷多解. (3) 写出含有自由未知数的同解方程组; (4) 令自由未知数全为0得一个特解 *, 并求出Ax=O的基础解系. (5) 写出通解 . 1 1 n r n r x k k − −  = +  ++ 

4.关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论 结论1.如果线性方程组的系数行列式不等于0,则方 程组一定有解,且解是唯一的 结论2.如果线性方程组无解或有两个不同的解,则 它的系数行列式必为0 结论3如果齐次线性方程组的系数行列式A≠0, 则齐次线性方程组只有唯一零解 结论4.如果齐次线性方程组有非零解,则它的 系数行列式A=0 K心

4. 关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论 结论1. 如果线性方程组的系数行列式不等于0，则方 程组一定有解，且解是唯一的. 结论2. 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式必为0. 结论3. 如果齐次线性方程组的系数行列式 则齐次线性方程组只有唯一零解. A  0, 结论4. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的 系数行列式 A = 0

5.关于矩阵秩的几个结论 结论1.设A,B是两个同型矩阵, 则r(A+B)≤r(4)+r(B) 结论2设A,B分别是m×n和nxs矩阵,AB=O, 则r(A)+r(B)≤n 结论3r(AB)≤mn{r(A),r(B 结论4设4,B分别是m×n和nxs矩阵 则r(AB)≥r(A)+r(B)-n K心

5. 关于矩阵秩的几个结论 ( ) ( ) ( ). 1. , , r A B r A r B A B 则 +  + 结论 设 是两个同型矩阵 ( ) ( ) . 2. , , , r A r B n A B m n n s AB O +    = 则 结论 设 分别是 和 矩阵 结论3.r(AB)  min{r(A),r(B)}. ( ) ( ) ( ) . 4. , , r AB r A r B n A B m n n s  + −   则 结论 设 分别是 和 矩阵

ex1.求解下列方程组 x1+2x2+3x3+3x4+7x5=0 3X1+2x2+x3+x4-3xs=0 x2+2x3+2x4+6x5=0 5x1+4x2+3x3+3x4-x5=0 Solution 12337 123 3 3211-3||04-8-8-24 01226 012 5433-1 0-6-12-12-36 K心

ex1. 求解下列方程组        + + + − = + + + = + + + − = + + + + = 5 4 3 3 0 2 2 6 0 3 2 3 0 2 3 3 7 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Solution.             − − = 5 4 3 3 1 0 1 2 2 6 3 2 1 1 3 1 2 3 3 7  A             − − − − − − − − → 0 6 12 12 36 0 1 2 2 6 0 4 8 8 24 1 2 3 3 7