电子科技大学应用数学学院：《数学建模》建模过程 做最简单的假设（徐全智）

1.建模过程做最简单的假设: 时间间隔At内的出生人数=bN(t)△t 时间间隔At内的死亡人数=dN(t)△t 这里b和d分别是出生率和死亡率。得到一个初始模型为 N(t+△t-N(t)=(b-d)N(t)△t (1) 针对时间区间△t的两种情况进一步讨论: 1)△t是一个确定的单位时间(比如△t=1年)。 令 N=N(k)=N(k△t),k=1,2,3, 方程(1)是一个关于序列Nkk=1,2,3,…的差分方程: Nk+l=(b-d+I)Nk k=1,2,3, (2) 据此,根据上一年的人口数可推算出第二年的人口数以及 逐年的人口数。 2)在很短的时间区间△t内,将人口数N(t)视为一个连 续变量。 因为具有很小的跃变的曲线可视为平滑曲线,如此处理即 简化了模型又不会引起严重误差。将(1)改写为 N(t+△)-N(t) b N( △t 令△t→→0,则有 n dt b-d

1. 建模过程 做最简单的假设： 时间间隔t 内的出生人数=b N(t)t 时间间隔t 内的死亡人数=dN(t)t 这里 b 和 d 分别是出生率和死亡率。得到一个初始模型为 N(t+t)−N(t) = (b−d)N (t) t （1） 针对时间区间t 的两种情况进一步讨论： 1）t 是一个确定的单位时间（比如t=1 年）。 令 Nk= N(k)=N (k t), k=1,2,3,… 方程(1)是一个关于序列 NK,k=1,2,3, …的差分方程: Nk+1= (b−d+1)Nk k=1,2,3, … （2） 据此，根据上一年的人口数可推算出第二年的人口数以及 逐年的人口数。 2）在很短的时间区间t 内，将人口数Ｎ（t）视为一个连 续变量。 因为具有很小的跃变的曲线可视为平滑曲线，如此处理即 简化了模型又不会引起严重误差。将（1）改写为 b a t N t t N t N t = −  ( + )− ( ) ( ) 1 令t→0, 则有 b d dt dN N = − 1 （3）

2.对相对增长率做不同假设,可建立不同的数学模型,得 到不同的解曲线 1)假设人口净增长率b和净死亡率d均为常数,从而净相 对增长率r=b-d也是一个常数 初始条件N0=N(0),方程的解为 N(t)= Noer ≥0 此模型是英国神父 Malthus在分析了一百多年人口统计资 料的基础上建立的,称为 Malthus模型。 模型分析假若净增长率r>0,人口的预测值将以er为公比 按几何级数无限增长。 人们发现十九世纪以前欧洲某些地区人口情况与 Malthus模 型比较相符,但此后发展情况则相差很大。 原因是模型假设过于简单。 实际上,随着人口不断增长,环境资源所能承受的人口容量 的限制,以及人口中年龄和性别结构等都会对出生和死亡产生影 响,只能在极小的时间段内才可以把人口净增长率r近似地看着 一个常数。 3.模型改进将“人口净增长率”视为函数r(N),方程(3) 被改为 dN(t) [N(t)N() dt N(O)= NO 解得

2. 对相对增长率做不同假设，可建立不同的数学模型，得 到不同的解曲线。 1）假设人口净增长率 b 和净死亡率 d 均为常数，从而净相 对增长率 r=b−d 也是一个常数。 初始条件 N0=N（0），方程的解为 N（t）= N0e rt , t≥0 此模型是英国神父 Malthus 在分析了一百多年人口统计资 料的基础上建立的，称为 Malthus 模型。 模型分析 假若净增长率 r>0，人口的预测值将以℮ r 为公比 按几何级数无限增长。 人们发现十九世纪以前欧洲某些地区人口情况与 Malthus 模 型比较相符，但此后发展情况则相差很大。 原因是模型假设过于简单。 实际上，随着人口不断增长，环境资源所能承受的人口容量 的限制，以及人口中年龄和性别结构等都会对出生和死亡产生影 响，只能在极小的时间段内才可以把人口净增长率 r 近似地看着 一个常数。 3. 模型改进 将“人口净增长率”视为函数 r(N)，方程（3） 被改为      = = (0) 0 [ ( )] ( ) ( ) N N r N t N t dt dN t （4） 解得

LN(Idi N(t)=M t≥0 由于rN(t)是未知函数,无法确定N(t) 进一步,将净增长率r看成人口数N的线性函数,设r(N)=a+ cN,并设r(0)=r且存在一个数值K使r(K)=0。即有 r(N) r(O r(K)=0 求解得 r(N=r(1-K), 代入式(4)中,有 (1-)N() K N(0)=N0 解为 N(=- N Ke'r K K+N(e-1)1+(A-1)e",t≥0 该模型称为 Logistic模型,解曲线亦称 Logistic曲线。 模型实际检验用 Malthus模型和 Logistic模型计算所得的 美国十九世纪初人口预测数。其中K=197273000,r0.03134。 统计实际统计 Malthus误差 Logistic误差 年份资料(百模型(%)模型(%) 万) (百万) (百万) 179 3.929 3.929 0 3.929

 = t r N t dt N t N e 0 [ ( )] 0 ( ) ，t≥0。 由于 r[N(t)]是未知函数，无法确定 N(t)。 进一步，将净增长率 r看成人口数 N的线性函数，设 r(N)=a+ c N,并设 r(0)=r,且存在一个数值 K 使 r(K)=0。即有      = = = + ( ) 0 (0) ( ) r K r r r N a cN 求解得 r(N)=r(1− K N )， 代入式（4）中，有      = = − 0 (0) (1 ) ( ) N N N t K N r dt dN 解为 r t N r t K r t e K K N e N Ke N t − + − + − = = ( 1) 1 ( 1) 0 0 0 ( ) , t≥0。 该模型称为 Logistic 模型，解曲线亦称 Logistic 曲线。 模型实际检验 用 Malthus 模型和 Logistic模型计算所得的 美国十九世纪初人口预测数。其中 K=197273000，r=0.03134。 统计 年份 实际统计 资料（百 万） Malthus 模型 （百万） 误差 （％） Logistic 模型 （百万） 误差 （％） 179 3.929 3.929 0 3.929 0

180 5.308 5.308 0 5.336 0.5 0 181 7.240 7.171 0.9 7.228 -0.2 1829.638 9.668 0.5 9.757 1.2 0 18312.86613.0881.7 13.1091.9 184 17.069 17.682 3.6 17.5062.6 185 23.192 238883.0 23.192 18631.44332.2722.6 30.412-33 18738.55843.59913.13937221 18850.1565890117450.1770 18962.9487957426.462.769-0.3 190 75.995 107.50 41.5 76.870 12

0 180 0 5.308 5.308 0 5.336 0.5 181 0 7.240 7.171 -0.9 7.228 -0.2 182 0 9.638 9.668 0.5 9.757 1.2 183 0 12.866 13.088 1.7 13.109 1.9 184 0 17.069 17.682 3.6 17.506 2.6 185 0 23.192 23.888 3.0 23.192 0 186 0 31.443 32.272 2.6 30.412 -3.3 187 0 38.558 43.599 13.1 39.372 2.1 188 0 50.156 58.901 17.4 50.177 0 189 0 62.948 79.574 26.4 62.769 -0.3 190 75.995 107.50 41.5 76.870 1.2

3 191 91.972 145.23 57.9 91972 0 192105.711196.20 85.6 107.55 1.7 8 9 1931277265.071159123.120.3 0 4 194 131.66 358.10 172. 136.65 3.8 9 9 9 3 195 150.69483.79221.149.05-1.1 7 仔细分析上表中的数据可以充分体味到数学建模的魅力

0 3 191 0 91.972 145.23 4 57.9 91.972 0 192 0 105.711 196.20 8 85.6 107.55 9 1.7 193 0 122.77 5 265.07 4 115.9 123.12 4 0.3 194 0 131.66 9 358.10 9 172. 9 136.65 3 3.8 195 0 150.69 7 483.79 8 221. 0 149.05 3 -1.1 仔细分析上表中的数据,可以充分体味到数学建模的魅力