电子科技大学应用数学学院：《数学建模》数据残差图分析原理（徐全智）

数据残差图分析原理; 关于变量X和Y的一元线性回归模型: Y=a+bx+E, EN(O 取定可控变量X的一组值x1,x2,…,xm,对Y 做n次观察(试验),假定各次试验是相互独立的 记试验结果为H,Y2…,Yn,则 =a+bx;+E,(i=1,2,…,n 满足回归假定: )1,62,,6n相互独立; 2)具有相同分布:6i~N(0.02) 设Y对应于x1,x2,…n的n个观测值为: y1,y2,…,yn,记 yi 作为y,(=1,2,…,m)的估计值,其中ab分别为a和b 的估计 称

数据残差图分析原理； 关于变量 X 和 Y 的一元线性回归模型： Y = a + bx +  , ε ～ N(0, σ2 ), 取定可控变量 X 的一组值 x x xn , , , 1 2  ，对 Y 做 n 次观察（试验），假定各次试验是相互独立的. 记试验结果为 Y1, Y2,…,Yn，则 Y a bx , (i 1,2, ,n) i = + i +  i =  满足回归假定： 设 Y 对应于 x x xn , , , 1 2  的 n 个观测值为 : , , , , 1 2 n y y  y 记 i a bxi y ˆ ˆ = ˆ + ，（i=1，2，…， n） 作为 yi，(i=1,2,…,n)的估计值，其中 a b ˆ ˆ , 分别为 a 和 b 的估计. 称 1） n  , , , 1 2  相互独立； 2）具有相同分布： i  ～N(0,σ2 )

=y-y,i=1,2 为残差.称 Ji i=1,2 为标准化残差 注:e,i=1,2;…,n是6,i=1,2,…n的样本值 由于i,i=1,2,…,n相互独立,并且ai~N(0,0 2),有 <2}=0.9545 有9545%的把握说,e的值在(2,2)区间内变动 以e为纵坐标,x为横坐标,将数据(x,e), i=-1,2,…,n绘在平面图内,所得图形称为标准化残差 图 0是未知参数,可用

ei = yi − y ˆ i , i = 1,2,  ,n , 为残差.称 i n e y y e i i i , 1,2, , ˆ =  − = =    为标准化残差. 由于 i  ，i=1,2,…,n 相互独立,并且 i  ～N(0,σ 2 )，有 2 = 0.9545,          i P 有 95.45%的把握说，e *的值在(一 2, 2)区间内变动. 以 e *为纵坐标，xi为横坐标，将数据（xi，e *）， i=1,2,…,n 绘在平面图内，所得图形称为标准化残差 图. σ是未知参数，可用 注：ei，i=1,2,…,n 是 i  ，i=1,2,…,n 的样本值

∑n-an-6∑x 2 作为o的估计,仍记 Vi-vi 若数据点(xi,e),i=1,2,…,n在(-2,2) 区间内随机散布,则说明回归方程的拟合是良好的 反之,则说明方程对数据的拟 合有问题

2 ˆ ˆ ˆ 1 1 1 2 − − − =    = = = n y a y b x y n i i i n i i n i i  作为σ的估计,仍记  ˆ ˆ * i i y y e − = 若数据点（xi，e *），i=1，2，…，n 在（一 2，2） 区间内随机散布，则说明回归方程的拟合是良好的. 反之，则说明方程对数据的拟 合有问题. 0 －2 2 e i * xi

例6.5.1生产费用与产量拟合优度分析 随机抽取了某一类企业中的10个企业,调查了 它们的产量和生产费用情况,取得数据如下表: 企业编号 2345 89 产量(千个x40424855657988100120 生产费用(千元)y150140160170150162185165190 建立经验回归方程为 y=134.7909+0.3978x, 计算出标准化残差(见P170表7.9),绘制生产费 用的标准化残差图图711.图中标准化残差e‘在横轴 上下随机散布,且位于(一2,2)区间内,可以认为方 程对数据的拟合是良好的

例 6.5.1 生产费用与产量拟合优度分析 随机抽取了某一类企业中的 10 个企业，调查了 它们的产量和生产费用情况, 取得数据如下表： 企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产量(千个)X 40 42 48 55 65 79 88 100 120 140 生产费用(千元)Y 150 140 160 170 150 162 185 165 190 185 建立经验回归方程为 y ˆ = 134.7909+ 0.3978x, 计算出标准化残差(见 P170 表 7.9)，绘制生产费 用的标准化残差图(图 7.11).图中标准化残差 e *在横轴 上下随机散布，且位于（一 2，2）区间内,可以认为方 程对数据的拟合是良好的