电子科技大学应用数学学院：《数学建模》三种常用的理论分布（徐全智）

三种常用的理论分布: N(t),>0}是计数过程,有 Pn(t) () e,n=0,1,2, 且E|N(t)|=λt,var|Nt)=λt (2)指数分布 当输入过程是一个泊松过程{N(t),t>0 时,设T是两位顾客相继到达的时间间隔, 有 FT(t=PiTT=1-PIT>t 1-Po(t)=1-e t>0, FT(t)=0,t≤0。 从 而 nedt t>0 (t)=F7(1) 0 t 且E(T)=1/A, λ一单位时间到达的平均顾客数;

三种常用的理论分布： （1） 泊松流与泊松分布 ｛N（t）,t>0｝是计数过程，有 , 0,1,2, ! ( ) ( ) = = − e n n t P t t n n   且 E[N（t）]=λt，Var[N(t)]=λt. (2) 指数分布 当输入过程是一个泊松过程｛N(t),t>0｝ 时，设 T 是两位顾客相继到达的时间间隔， 有 FT（t）=P｛T≤t｝=1－P｛T＞t｝ =1－P0（t）=1－ t e − ， t>0, FT（t）=0, t≤0。 从 而      =  = − 0, 0. , 0 ( ) ( ) t e t f t F t t T T   （λ＞ 0）， 且 E（T）=1/λ， λ—单位时间到达的平均顾客数；

l/A一相继到达的平均间隔时间 定理输入过程{N(t),t>0}是参数为 的泊松过程的充分必要条件是相继到达的 时间间隔:T1,T2, 相互独立,同服 从参数为指数分布。 为一位顾客服务的时间V一般也服从指 数分布,有 t>0 F()= t0, t<0 其中u-平均服务率; E(V)=1/u一一位顾客的平均服务时 间 p=λ/p一服务强度,刻画服务效率和 服务机构利用程度的重要指标。 (3)爱尔明 设V1,V2,…,Vk相互独立,VE(0 kp),则,T=V1+V2+…+Vk的概率密度为

1/λ— 相继到达的平均间隔时间。 定理.输入过程｛N(t), t>0｝是参数为λ 的泊松过程的充分必要条件是相继到达的 时间间隔：T1，T2，…Tn,…相互独立，同服 从参数为指数分布。 为一位顾客服务的时间 V 一般也服从指 数分布，有     −  = − 0, 0. 1 , 0, ( ) t e t F t t V  ,     −  = − 0, 0. , 0, ( ) t e t f t t V   其中 μ— 平均服务率； E（V）= 1/μ—一位顾客的平均服务时 间。 ρ=λ/μ—服务强度，刻画服务效率和 服务机构利用程度的重要指标。 （3）爱尔朗（Erlang）分布 设 V1，V2，…，Vk 相互独立，Vi～E(0 ， kμ)，则，T=V1+V2+…+Vk的概率密度为

uk(ukt) t>0, (k-1) t<0 称T服从k阶爱尔朗分布。 例:串列的k个服务台,每个服务台的 服务时间相互独立,服从相同的指数分布, 则k个服务台的总服务时间服从k阶爱尔 朗分布。 有:1)E(T)=之E()=h.1 ku u 2)k=1时,T~E(0,u); 3)k≥30时,T近似服从正态分 布; 4) lim Var(T)=lim k→∞ (化 为确定型分布)

       = − − 0, 0. , 0, ( 1)! ( ) ( ) 1 t t k k k t f t k k   称 T 服从 k 阶爱尔朗分布。 例：串列的 k 个服务台，每个服务台的 服务时间相互独立，服从相同的指数分布， 则 k 个服务台的总服务时间服从 k 阶爱尔 朗分布。 有：1）E（T）=   1 1 ( ) 1  =  = = k E V k k i i ； 2）k=1 时，T～E（0，μ）； 3）k≥30 时，T 近似服从正态分 布； 4） 0. 1 ( ) 2 lim = lim = → → k Var T k t （化 为确定型分布）