山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）5.3唯一性

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 5.3 唯一性

5.3 唯一性

加求翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 同一个线性替换可以经过不同的线性替换化为不同的标准形 。 非退化线性替换不改变二次型的秩 ·标准形的秩体现在什么地方呢？ 系数不为零的平方项的个数 主对角线上不为零的数的个数 >在复数域和实数域中，进一步研究唯一性的问题

• 同一个线性替换可以经过不同的线性替换化为不同的标准形 系数不为零的平方项的个数 ➢ 在复数域和实数域中，进一步研究唯一性的问题. • 非退化线性替换不改变二次型的秩 • 标准形的秩体现在什么地方呢？ 主对角线上不为零的数的个数

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、复数域的情形 设f(x1,X2,.,xn)是一个复系数的二次型，秩为T, 经过一适当的非退化线性替换后化为标准形，设为 d1yf+d2y2+.+dry, d≠0，i=1,2,.,n 作一非退化线性替换

一、复数域的情形 设 𝑓 ( 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) 是一个复系数的二次型，秩为𝑟， 经过一适当的非退化线性替换后化为标准形，设为 𝑑1𝑦1 2 + 𝑑2𝑦2 2 + ⋯ + 𝑑𝑟𝑦𝑟 2 , 𝑑𝑖  0, 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑟 作一非退化线性替换

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 1 d1y+d2y2+.+dry y1= d 就变成 1 yr= r' z+z经+.+z. yr+1=Zr+1, 上式称为复二次型f（X1,x2,.,xn) 的规范形. yn=Zn

𝑦1 = 1 𝑑1 𝑧1 , ⋯ 𝑦𝑟 = 1 𝑑𝑟 𝑧𝑟 , 𝑦𝑟+1 = 𝑧𝑟+1 , ⋯ 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 𝑑1𝑦1 2 + 𝑑2𝑦2 2 + ⋯ + 𝑑𝑟𝑦𝑟 2 𝑧1 2 + 𝑧2 2 + ⋯ + 𝑧𝑟 2 . 就变成 上式称为复二次型 𝑓 ( 𝑥1 , 𝑥2 , . , 𝑥𝑛 ) 的规范形

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退 化线性替换可以变成规范形，且规范形是难一的

定理 3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退 化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的

加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理3'任一复数的对称矩阵合同于一个形式为 的对角矩阵

的对角矩阵. 定理 3 任一复数的对称矩阵合同于一个形式为 1 ⋱ 1 0 ⋱ 0

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ·两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等」

• 两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等

山求濯工大深 三、实数域的情形 设∫(x1,X2,.,xn)是一个实系数的二次型，秩为T, 经过一适当的非退化线性替换，再适当排列文字的次序， 可使f(X1,X2,.,xn)变成标准形 dy?+.+dpy呢-dn+1y+1-.-dry, 其中d>0,i=1,2,.,r. 因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化 线性替换

三、实数域的情形 设 𝑓 ( 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) 是一个实系数的二次型，秩为𝑟， 经过一适当的非退化线性替换，再适当排列文字的次序， 可使 𝑓 ( 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) 变成标准形 𝑑1𝑦1 2 + ⋯ + 𝑑𝑝𝑦𝑝 2 − 𝑑𝑝+1𝑦𝑝+1 2 − ⋯ − 𝑑𝑟𝑦𝑟 2 , 其中𝑑𝑖 > 0, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑟. 因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化 线性替换

山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 1 二次型 y1= dyi+.+dpy-dp+1y7+1-.-dry, 1 就变成 yr= yr+1=Zr+1) +.+z-2+1-.-2 称之为实二次型f(x1,X2,.,xn)的 yn=Zn 规范形

𝑦1 = 1 𝑑1 𝑧1 , ⋯ 𝑦𝑟 = 1 𝑑𝑟 𝑧𝑟 , 𝑦𝑟+1 = 𝑧𝑟+1 , ⋯ 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 二次型 𝑑1𝑦1 2 + ⋯ + 𝑑𝑝𝑦𝑝 2 − 𝑑𝑝+1𝑦𝑝+1 2 − ⋯ − 𝑑𝑟𝑦𝑟 2 , 就变成 𝑧1 2 + ⋯ + 𝑧𝑝 2 − 𝑧𝑝+1 2 − ⋯ − 𝑧𝑟 2 称之为实二次型 𝑓 ( 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 )的 规范形

山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理4（惯性定理） 任意一个实数域上的二次型，经过一适 当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的 证明 定理的前一半在上面己经证明，下面就来证唯一性 设实二次型(X1,x2,.,Xn)经过非退化线性替换X=BY 化成规范形 f(x1,2,.,xn)=y经+.+y呢-y7+1-.-y明 而经过非退化线性替换X=CZ也化成规范形 f(x1,x2,.,xn)=z+.+26-z+1-2

定理 4 (惯性定理) 任意一个实数域上的二次型，经过一适 当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的. 证明 定理的前一半在上面已经证明，下面就来证唯一性. 设实二次型 𝑓 ( 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) 经过非退化线性替换 𝑋 = 𝐵𝑌 化成规范形 𝑓 ( 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) = 𝑦1 2 + ⋯ + 𝑦𝑝 2 − 𝑦𝑝+1 2 − ⋯ − 𝑦𝑟 2 而经过非退化线性替换 𝑋 = 𝐶𝑍 也化成规范形 𝑓 ( 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) = 𝑧1 2 + ⋯ + 𝑧𝑞 2 − 𝑧𝑞+1 2 − ⋯ − 𝑧𝑟 2