北京交通大学：《电路》课程教学资源（讲稿）Unit 4 正弦稳态电路分析 L3 两类约束关系的相量形式、L4 阻抗与导纳

第四单元正弦交流电路正弦信号和正弦稳态正弦相量连接约束的相量形式正弦稳态分析元件的相量关系线性非时变电路正弦稳态电路的相量分析单一频率正弦激励下稳态响应相量分析方法正弦稳态功率Circuit-Analysis by Beijing Jiaotong University

Circuit Analysis by Beijing Jiaotong University 正弦稳态分析 元件的相量关系 正弦稳态电路的相量分析 线性非时变电路 单一频率正弦激励下稳态响应 相量分析方法 正弦稳态功率 正弦相量 正弦信号和正弦稳态 连接约束的相量形式 第四单元 正弦交流电路

Unit4正弦稳态电路分析L3两类约束关系的相量形式教师：余晶晶北京交通大学电子信息工程学院

L3 两类约束关系的相量形式 教师：余晶晶 ————————————————————— 北京交通大学 电子信息工程学院 Unit 4 正弦稳态电路分析

相量的运算性质Review:可证明正弦信号的运算与其向量的运算有如下关系：台kiki(t)）i±izi(t)±iz(t)di台 joidtiidt>joi(t)= Im[2iejot ]53Circuit-AnalysisbyBeijing Jiaotong University

Circuit Analysis by Beijing Jiaotong University 53 可证明正弦信号的运算与其向量的运算有如下关系： ki t kI   ( ) 1 2 1 2 i t i t I I      ( ) ( ) I t i  j d d  j d I i t    ( ) Im[ ] j t i t Ie    2 Review：相量的运算性质

一．基尔霍夫定律的相量形式☆★★Zi()=0KCL设电路中某节点有n条支路相连k=l在单一频率的正弦稳态电路中，i(t）为同一频率的正弦量。Zi(t) =ZIm[ /2itej" ] = /2 Im[(Zi,)ejo" ] =0Zi,=0即Zi(t)=0KCL的相量形式k=1k=lZi(t)=0反之，若对应的相量满足相量KCL，则有KVL同理可知，KVL瞬时表示及其对应的相量形式为mZv=0Zv(t)=0KVL的相量形式k=0k=054Circuit-AnalysisbyBeijingJiaotongUniversity

Circuit Analysis by Beijing Jiaotong University 54 设电路中某节点有n条支路相连   n k ki t 1 ( ) 0 在单一频率的正弦稳态电路中，i (t) k  ( )  Im[ 2 ]  2 Im[( ) ] 0 j t k j t k k i t I e I e     即 1 0 n k k I    反之，若对应的相量 k I  满足相量KCL，则有 i k (t)  0 同理可知，KVL瞬时表示及其对应的相量形式为   m k k v t 0 ( ) 0   m k Vk 0  0 为同一频率的正弦量。 KCL的相量形式 KCL KVL    n k ki t 1 ( ) 0 一．基尔霍夫定律的相量形式✮✮✮ KVL的相量形式

例图示电路中2V2mVi = 5 sin(ot +d)5V2 = V2m cos ot43V43V3 = 3sin ot3试确定V2m和ΦVm=VzmZ90°,=5Zd1写出电压的最大值相量形式V2mV3m=3Z0°根据相量KVLV/m=V2m+5m5/Φ=jV2m+35cosΦ+j5sin=3+jV2m[5cosΦ= 3[5sing=V2mV2m = 4Φ = 53.1°55CircuitAnalysis by Beljing Jiaotong University

Circuit Analysis by Beijing Jiaotong University 2 1 v 3 1 v2 v3 例 图示电路中 5sin( ) v1  t  v V cost 2  2 m v 3sint 3  试确定V2m 和 写出电压的最大值相量形式 V1m  5    V2 m V2 m90   3 0 V3m   根据相量KVL V1m V2 m V3m      5 j 3   V2 m  2 m 5cos  j5sin  3  jV      2 m 5sin 5cos 3  V     53.1 V2 m  4 V1m  V2 m  V3m   3 5 4 55 

例已知电路某节点i=4V2sinのt(A);iz=2/2cosのt(A);i=5(A)求: i=?il解：i,=4Z0°i,=2Z90°2i, + i, = 4+ j2 = 2/5Z26.6(A)2i =i +iz -i, =2/10sin(ot+26.6°)-5(A)i3注：本例中i是用KCL的瞬时值形式求出。角频率同为の的正弦电流与之和可借助相量来计算。般情况下，不同频率成份可分别由相量计算，在时域内叠加。本例中若写出i,=5Z0°无意义。56Circuit-AnalysisbyBeijingJiaotongUniversity

Circuit Analysis by Beijing Jiaotong University 例 已知电路某节点 1 2 3 i  4 2 sint(A)；i  2 2 cost(A)；i  5(A) 求：i4=? 4 1 2 3 i  i i i  2 10 sin(t  26.6 ) 5 (A)  本例中若写出   I3  50 无意义。 解：   I1  40   I 2  290 1 2 I  I  4 j2  2 526.6 (A)    注：本例中i4是用KCL的瞬时值形式求出。 角频率同为ω的正弦电流 i1与 i2之和可借助相量来计算。 一般情况下，不同频率成份可分别由相量计算，在时域内叠加。 56

二：元件VAR的相量形式★★★将基本元件的伏安关系用相量形式表示。可将微积分运算化为简单的复代数运算，使得用相量法分析电路成为可能。以下讨论中假设元件两端的电压与电流取关联参考方向。电流、电压的瞬时值及其相量分别设为i=IZ0i(t) = Im sin(t +0)V=VZ0v(t) = Vm sin(ot +0,)57Circuit-AnalysisbyBeijingJiaotongUniversity

Circuit Analysis by Beijing Jiaotong University 57 电流、电压的瞬时值及其相量分别设为 V V v  将基本元件的伏安关系用相量形式表示。可将微积分运算化为简单 的复代数运算, 使得用相量法分析电路成为可能。 以下讨论中假设元件两端的电压与电流取关联参考方向。 ( ) sin( ) m i i t  I  t  i I   I ( ) sin( ) m v v t V t  二．元件VAR的相量形式✮✮✮

1.电阻元件对于线性电阻 v(t)=Ri(t)即在关联方向下，电阻两端电压与电流同相位V=RIV= Ri写出相量形式为0,= 0,R0y=058Circuit-AnalysisbyBeljing JiaotongUniversity

Circuit Analysis by Beijing Jiaotong University 58 对于线性电阻 v(t) = Ri(t) 即在关联方向下，电阻两端电压与电流同相位      v i V RI   写出相量形式为 V RI    v  i V  I  V =I I  V  R 1.电阻元件

2.电感元件(1）瞬时伏安关系div(t)dt(2)相量伏安关系Vm = joLim = OLe'21me'10V = @LIV-joLi元0.= 0..+2元（关联方向）电感两端电压超前其电流-259Circuit-Analysis by Beijing Jiaotong University

Circuit Analysis by Beijing Jiaotong University 59 (1)瞬时伏安关系 dt di v(t)  L (2)相量伏安关系 i j m j Vm j LIm Le I e     2     V j LI         2   v i V LI 电感两端电压超前其电流 2 （关联方向） 2．电感元件

电感元件diV=joLiv(t) = LdtjOLot60Circuit-Analysis by Beijing Jiaotong University

Circuit Analysis by Beijing Jiaotong University 60 电感元件 V j LI     dt di v(t)  L v t i V I  i I  V jL V j LI    