《电路分析基础》课程教学资源（文献资料）等效电阻的几种计算方法

第8卷第3期武汉电力职业技术学院学报Vol8No32010年9月Sep 2010Joumal ofWuhan E lectric PowerTechn ical College等效电阻的几种计算方法朱卫萍（武汉电力职业技术学院电力工程系，湖北武汉430079)摘要：归纳介绍并讨论了串联、并联电路的等效电阻计算方法：按两种情况介绍了复杂混联电路等效电阻的计算步骤：对于星形与三角形联接的电路介绍了星形三角形等效变换公式与方法：讨论了平衡电桥的等效电阻计算；进而引申出具有对称结构的电路等效电阻的简化计算方法。关键词：电工：等效电阻：简化：计算方法中图分类号：TM11文献标识码：B文章编号：2076/ZY（2010)03-0022-05在电路分析中最基本的电路就是电阻电路。-而分析电阻电路常常要将电路化简，求其等效电++阻。由于实际电路形式多种多样，电阻之间联接方R2 口RUR,R.LVU式也不尽相同，因此等效电阻计算方法也有所不同。本文就几种常见的电阻联接方式，谈谈等效电-阻的计算方法和技巧。图2并联电路图一、电阻的串联根据电阻并联特点可推得，等效电阻的倒数等以3个电阻联接为例.电路如图1所示。于各并联电阻倒数之和，即：R711=1+1+1+1++台RRRRRR.7说明：■R2nRuU（1)并联电阻越多，等效电阻越小，且等效电ORS阻比其中最小的电阻还要小；/ d（2)如果各电阻阻值相同，则等效电阻Ri图1串联电路图R=（n为电阻个数）n根据电阻串联特点可推得，等效电阻等于各串（3)如果两个电阻并联，则等效电阻联电阻之和，即：RiR2R=R=Ri+R2+R3+...+R.RR+R2从此式可以引伸出：（n为电阻个数）（1)如果一个电阻是另一个电阻的两倍，则等由此可见：效电阻等于较大的电阻除以3即：（1)串联电阻越多，等效电阻也越大；R=大电阻（2)如果各电阻阻值相同则等效电阻为R=R1。3二、电阻的并联例如R1=12Q,R2=6Q则大电阻12电路如图2所示。R =4233收稿日期：2010-09-02作者简介：朱卫萍（1960-），女，大学，武汉电力职业技术学院电力工程系副教投。294-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House,All rights reserved.http://www.cnki.net

等效电阻的几种计算方法 朱卫萍 * (武汉电力职业技术学院电力工程系, 湖北 武汉 430079) 摘 要: 归纳介绍并讨论了串联、并联电路的等效电阻计算方法; 按两种情况介绍了复杂混联电路等效电阻 的计算步骤; 对于星形与三角形联接的电路介绍了星形三角形等效变换公式与方法; 讨论了平衡电桥的等效 电阻计算; 进而引申出具有对称结构的电路等效电阻的简化计算方法。 关键词: 电工; 等效电阻; 简化; 计算方法 中图分类号: TM 11 文献标识码: B 文章编号: 2076 /ZY( 2010) 03- 0022- 05 在电路分析中, 最基本的电路就是电阻电路。 而分析电阻电路常常要将电路化简, 求其等效电 阻。由于实际电路形式多种多样, 电阻之间联接方 式也不尽相同, 因此等效电阻计算方法也有所不 同。本文就几种常见的电阻联接方式, 谈谈等效电 阻的计算方法和技巧。 一、电阻的串联 以 3个电阻联接为例, 电路如图 1所示。 图 1 串联电路图 根据电阻串联特点可推得, 等效电阻等于各串 联电阻之和, 即: R = R1 + R 2 + R 3 + , + Rn = E n k= 1 R k ( n为电阻个数 ) 由此可见: ( 1)串联电阻越多, 等效电阻也越大; ( 2)如果各电阻阻值相同, 则等效电阻为R = nR1。 二、电阻的并联 电路如图 2所示。 图 2 并联电路图 根据电阻并联特点可推得, 等效电阻的倒数等 于各并联电阻倒数之和, 即: 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R3 + , + 1 R n = E n k = 1 1 R k 说明: ( 1)并联电阻越多, 等效电阻越小, 且等效电 阻比其中最小的电阻还要小; ( 2)如果各电阻阻值相同, 则等效电阻 R = R1 n ( n为电阻个数 ); ( 3)如果两个电阻并联, 则等效电阻 R = R1R2 R 1 + R 2 从此式可以引伸出: ( 1)如果一个电阻是另一个电阻的两倍, 则等 效电阻等于较大的电阻除以 3, 即: R = 大电阻 3 , 例如, R 1 = 12 8, R2 = 6 8, 则 R = 大电阻 3 = 12 3 = 4 8。 # 22# 第 8卷 第 3期 武汉电力职业技术学院学报 Vo.l 8 No. 3 2 0 1 0 年 9 月 Journal o fW uhan E lectric Pow er Techn ical Co llege Sep. 2010 * 收稿日期: 2010- 09- 02 作者简介: 朱卫萍 ( 1960- ) , 女, 大学, 武汉电力职业技术学院电力工程系副教授

第8卷第3期朱卫萍：等效电阻的几种计算方法上述结论能否推广使用呢？即如果一个电阻关，也就是说不同的两点看进去，等效电阻往往是是另一个电阻的3倍、4倍.倍。不一样的，因为对应点不同，电阻之间的联接关系可能不同。例如，12Q电阻分别与42、32、22、1Q电阻并联（它们的倍数分别是346和12倍），等效例如图3若从ac两点看进去，R.与R并电阻如何计算？联.R，与R就不是并联.而是串联（但此时R+不难看出：当一电阻为另一电阻的n倍时，等R。被短接），这样，等效电阻为：效电阻的计算通式为：R=RllR2R=大电阻同理，从hc看进去,R，与R2串联（被短接），（n为两电阻的倍数）n+1R，与R4并联.等效电阻：利用此式很容易得出上述问题的答案。Rhe=R ll R4(2)如果一个电阻远大于另一电阻，则等效电2电阻之间联接关系不太容易确定阻约等于小电阻。例如图4所示，各电阻的串、并联关系不是很例如,R1=1Q,R2=100Q则清晰，对初学者来说，直接求解比较困难。所以，可R,R21×100_100=0.99~10将原始电路进行改画，使之成为电阻联接关系比较R=R+R2-1+100-101明显的电路，然后再进行计算。R130三、电阻的混联在实际电路中，单纯的电阻串联或并联是不多R262见的，更常见的是既有串联，又有并联，即电阻的混联电路。R77QR340对于混联电路等效电阻计算，分别可从以下两R540种情况考虑。1电阻之间联接关系比较容易确定R410.求解方法是：先局部.后整体即先确定局部电boR680阻串联、并联关系，根据串、并联等效电阻计算公式，分别求出局部等效电阻，然后逐步将电路化简图4复杂的串、并联电路图最后求出总等效电阻。具体方法步骤如下：例如图3所示电路.从ab两端看进去，R，与（1)找出电路各节点，并对其进行命名.如图5R2并联,R3与R.并联,前者等效电阻与后者等效所示。电阻串联，Rs的两端处于同一点（b点）而被短接nR130-计算时不须考虑，所以，等效电阻aRab=RIlR2+RllR46R1R2IRTRR2TO49acR542R3R4100R4bsboR680b图5寻找节点Rs在找节点时需注意：等电位点属于同一点，故不能重复命名，如上图3混联电路图图的c点，它是由三个等电位点构成的，命名时必值得注意的是：等效电阻的计算与对应端点有须将它们看成一点。994-2ChinaAcademieJouaElectroniPublishingHousAllrightsreservedhtp/wkin

上述结论能否推广使用呢? 即如果一个电阻 是另一个电阻的 3倍、4倍, n倍。 例如, 12 8 电阻分别与 4 8 、3 8、2 8 、1 8 电 阻并联 (它们的倍数分别是 3、4、6和 12倍 ), 等效 电阻如何计算? 不难看出: 当一电阻为另一电阻的 n倍时, 等 效电阻的计算通式为: R = 大电阻 n + 1 ( n为两电阻的倍数 ) 利用此式, 很容易得出上述问题的答案。 ( 2)如果一个电阻远大于另一电阻, 则等效电 阻约等于小电阻。 例如, R1 = 1 8 , R 2 = 100 8, 则 R = R1R 2 R 1 + R2 = 1 @ 100 1+ 100 = 100 101 = 0199U 1 8 三、电阻的混联 在实际电路中, 单纯的电阻串联或并联是不多 见的, 更常见的是既有串联, 又有并联, 即电阻的混 联电路。 对于混联电路等效电阻计算, 分别可从以下两 种情况考虑。 1. 电阻之间联接关系比较容易确定 求解方法是: 先局部, 后整体, 即先确定局部电 阻串联、并联关系, 根据串、并联等效电阻计算公 式, 分别求出局部等效电阻, 然后逐步将电路化简, 最后求出总等效电阻。 例如图 3所示电路, 从 a、b 两端看进去, R 1 与 R2 并联, R 3 与 R 4 并联, 前者等效电阻与后者等效 电阻串联, R5 的两端处于同一点 ( b点 )而被短接, 计算时不须考虑, 所以, 等效电阻: Ra b = R 1 M R2 + R 3 M R4 图 3 混联电路图 值得注意的是: 等效电阻的计算与对应端点有 关, 也就是说不同的两点看进去, 等效电阻往往是 不一样的, 因为对应点不同, 电阻之间的联接关系 可能不同。 例如图 3, 若从 a、c两点看进去, R1 与 R2 并 联, R3 与 R4 就不是并联, 而是串联 (但此时 R3 + R 4 被短接 ), 这样, 等效电阻为: Rac = R 1 M R2 同理, 从 b、c看进去, R 1 与 R 2 串联 (被短接 ), R 3 与 R 4 并联, 等效电阻: Rbc = R 3 M R 4 2. 电阻之间联接关系不太容易确定 例如图 4所示, 各电阻的串、并联关系不是很 清晰, 对初学者来说, 直接求解比较困难。所以, 可 将原始电路进行改画, 使之成为电阻联接关系比较 明显的电路, 然后再进行计算。 图 4 复杂的串、并联电路图 具体方法步骤如下: ( 1)找出电路各节点, 并对其进行命名, 如图 5 所示。 图 5 寻找节点 在找节点时需注意: 等电位点属于同一点, 故不能重复命名, 如上 图的 c点, 它是由三个等电位点构成的, 命名时必 须将它们看成一点。 # 23# 第 8卷第 3期 朱卫萍: 等效电阻的几种计算方法

2010年9月武汉电力职业技术学院学报(2)将各节点画在一条水平线上，如图6a所示。Ra[dba图6各节点画在一水平线上布局各节点时需注意：为方便计算，最好将两端点分别画在两头，如图6的ab两点。RsR（3)对号入座各电阻，画出新电路。即将各电552362阻分别画在对应节点之间，这样，就构成了一个与原始电路实质相同，而形式比较简单明了的新电路图9等效互换后的新电路图了，如图7所示。最后再求等效电阻。则ab两点等效电阻：3040RR80Rab= Ra+ (R+ Rs l (Ra+ R4ac60×40R.= 20+44Q60+ 40R:60RA10p此题还可以将R、R4、R，变成Y形.或者将RR3、R4变成△（也可将RzR、Rs变成△）等方7法化简进行计算。图7节点命名法的新电路图五、平衡电桥的等效电阻此方法可称为节点命名法。它是分析电阻联1电桥的概念接关系比较复杂电路的一种实用的方法。电桥电路的构成特点是：4个节点，5条支路。四、电阻的星形（Y)与三角形（△）联接电路图8所示电路就是一个电桥电路，其中，a-αc-hb-d和d-a节点间所接支路为桥臂电阻，c-d求解这类电路等效电阻的基本思路.就是将电间所接支路为桥电阻。路作星形与三角等效互换，使之变成电阻串、并联对于一般电桥电路，只能按上述方法求等效电电路。阻。而当电桥平衡时，计算则大为简化。例如图8所示电路。ao2电桥平衡及平衡条件R2R1在电桥电路中，如图10所示，如果桥支路两端400的电位值相等，即V.=V.则电桥就处于平衡502R3状态。ao100RY55236.RsboR图8星形与三角形联接电路图等效变换时,可以将RI、R2、R3的△联接变成boY联接，如图9所示。根据电阻的△-Y等效变换公式可算得：图10电桥电路图R, ×R240×50Ra=20那么，在什么情况下电桥可以达到平衡？R+R2+R340+10+50根据电桥平衡概念，很容易推得电桥平衡条件R ×R350×1050R=是当相邻电阻成比例.或对臂电阻乘积相等时，电R+R2+R340+10+50桥达到平衡状态。R2×R340 × 10=40Ra= R+R2+Rs40+10+50由此可知，图8所示电桥不满足平衡条件。但4-2012China AcademiJournalElectronicPublishingHouseAllrightsreservedhttp:/wwwenkinet

( 2) 将各节 点画在一条水 平线上, 如图 6 所示。 a # c # d # b # 图 6 各节点画在一水平线上 布局各节点时需注意: 为方便计算, 最好将两 端点分别画在两头, 如图 6的 a、b两点。 ( 3)对号入座各电阻, 画出新电路。即将各电 阻分别画在对应节点之间, 这样, 就构成了一个与 原始电路实质相同, 而形式比较简单明了的新电路 了, 如图 7所示。最后再求等效电阻。 图 7 节点命名法的新电路图 此方法可称为节点命名法。它是分析电阻联 接关系比较复杂电路的一种实用的方法。 四、电阻的星形 ( Y)与三角形 ( v )联接电路 求解这类电路等效电阻的基本思路, 就是将电 路作星形与三角等效互换, 使之变成电阻串、并联 电路。 例如图 8所示电路。 图 8 星形与三角形联接电路图 等效变换时, 可以将 R1、R2、R3 的v联接变成 Y 联接, 如图 9所示。 根据电阻的 v - Y等效变换公式可算得: Ra = R 1 @ R2 R 1 + R 2 + R3 = 40 @ 50 40 + 10 + 50 = 20 8 Rc = R1 @ R 3 R1 + R 2 + R 3 = 50 @ 10 40 + 10 + 50 = 5 8 Rd = R2 @R 3 R1 + R2 + R 3 = 40 @ 10 40+ 10 + 50 = 4 8 图 9 等效互换后的新电路图 则 a、b两点等效电阻: Rab = Ra + (R c + R 5 M (Rd + R4 = 20 + 60 @ 40 60 + 40 = 44 8 此题还可以将 R3、R 4、R 5 变成 Y 形, 或者将 R 1、R3、R4 变成 v (也可将 R 2、R 3、R5 变成 v )等方 法化简进行计算。 五、平衡电桥的等效电阻 1. 电桥的概念 电桥电路的构成特点是: 4个节点, 5条支路。 图 8所示电路就是一个电桥电路, 其中, a- c、c￾b、b- d和 d- a节点间所接支路为桥臂电阻, c- d 间所接支路为桥电阻。 对于一般电桥电路, 只能按上述方法求等效电 阻。而当电桥平衡时, 计算则大为简化。 2. 电桥平衡及平衡条件 在电桥电路中, 如图 10所示, 如果桥支路两端 的电位值相等, 即 Vc = Vd, 则电桥就处于平衡 状态。 图 10 电桥电路图 那么, 在什么情况下电桥可以达到平衡? 根据电桥平衡概念, 很容易推得电桥平衡条件 是当相邻电阻成比例, 或对臂电阻乘积相等时, 电 桥达到平衡状态。 由此可知, 图 8所示电桥不满足平衡条件。但 # 24# 武汉电力职业技术学院学报 2010年 9月

第8卷第3期朱卫萍：等效电阻的几种计算方法是.如果将R4和Rs分别改为25Q和20Q（如图R,R2该11所示），此时，R×Rs=R2×R4,或者R4R3电桥达到平衡条件，就是平衡电桥。a402500109250200图11平衡电桥电路图图14四个平街电桥电路图3平衡电桥电阻计算电桥平衡时，可以不必用上述电阻星形三角形a变换方法计算等效电阻，而是利用电桥平衡特点来计算，具体可以采用以下两种方法：(1)由于αd等电位(即Ua=O),因此可用一根导线将两点直接短接，如图12所示，25b图12等电位点短接后的电路图bb则等效电阻为Ra=50l40+2520=33.3Q图15等电位点全部短接后的电路图(2)由于ad等电位,则lea=Q所以，可以将其等效电阻：桥支路断开，如图13所示，R=1+1+1l1+1a.=05+025+025+05=15Q50六、具有对称结构的电路观察可知，图14所示就是一个具有左右对称、上下也对称的电路。计算这种电路时.还可以利用电路对称特点，使计算变得更简便。图13桥支路断开后的电路图（1)如果只考虑左右对称，则用一假想平面将电路沿对称轴分成左右两部分，如图16所示，然后则等效电阻为求出其中一半的等效电阻，即：Rab=（50+25（40+20=33.3QR=1+(1+1l(1+1+1=3Q说明：最后，求得总等效电阻为：如果电路中含有几个平衡电桥，同样可以根据R'a平衡特点，将各等电位点短接或者断开。例如，图Rab==152214所示电路，其中就含有四个平衡电桥，计算时可（2)如果同时还考虑该电路上（下转第32页）将等电位点全部短接，如图15所示。994-212China AcademicJoumalElectroniPublishing HouseArightsreservedhttp:/wwkint

是, 如果将 R4 和 R5 分别改为 25 8 和 20 8 (如图 11所示 ), 此时, R1 @R5 = R2 @R4, 或者 R1 R4 = R 2 R 5 , 该 电桥达到平衡条件, 就是平衡电桥。 图 11 平衡电桥电路图 3. 平衡电桥电阻计算 电桥平衡时, 可以不必用上述电阻星形三角形 变换方法计算等效电阻, 而是利用电桥平衡特点来 计算, 具体可以采用以下两种方法: ( 1)由于 c、d等电位 (即 Ucd = 0), 因此可用一 根导线将两点直接短接, 如图 12所示, 图 12 等电位点短接后的电路图 则等效电阻为 Ra b = 50 M 40 + 25 M 20 = 3313 8 ( 2)由于 c、d等电位, 则 Icd = 0, 所以, 可以将 桥支路断开, 如图 13所示, 图 13 桥支路断开后的电路图 则等效电阻为 Rab = ( 50 + 25 M ( 40 + 20 = 3313 8 说明: 如果电路中含有几个平衡电桥, 同样可以根据 平衡特点, 将各等电位点短接或者断开。例如, 图 14所示电路, 其中就含有四个平衡电桥, 计算时可 将等电位点全部短接, 如图 15所示。 其等效电阻: R ab = 1M1+ 1M 1M1M 1+ 1M1M 1M1+ 1M 1 = 0. 5+ 0. 25+ 0. 25+ 0. 5= 1. 5 8 六、具有对称结构的电路 观察可知, 图 14所示就是一个具有左右对称、 上下也对称的电路。计算这种电路时, 还可以利用 电路对称特点, 使计算变得更简便。 ( 1)如果只考虑左右对称, 则用一假想平面将 电路沿对称轴分成左右两部分, 如图 16所示, 然后 求出其中一半的等效电阻, 即: R cabc = 1 + ( 1 + 1 M ( 1 + 1 + 1 = 3 8 最后, 求得总等效电阻为: Ra b = R cabc 2 = 1. 5 8 ( 2)如果同时还考虑该电路上 (下转第 32页 ) # 25# 第 8卷第 3期 朱卫萍: 等效电阻的几种计算方法

2010年9月武汉电力职业技术学院学报「10]王颖娴.高职院校精品课建设的思考【几新课程【11]何树全.高校精品课程建设创新体系初探【』.福研究：2009（1)建论坛.2009.（2)Practice& Feedback of CamputerNetworkQuality Course ConstructionLIUHairong(Huangg ang Po y techn ic Co lbge, Huanggang 438002)Abstract NetvorkQuality Courses pramoton and application are them ain content of teaching refom of hgheruniversities and colleges Cambined with course constructin,this thesis has put foward Camputer NetworkQuality Courses teaching tasts after careful teaching analysis and systamatic des gn and it also has discusses suchre lavant issues as course teach ing cm petence systam, teaching methods practical teaching des ign ng conceptswebsite construction and teachig staff resources cam posng and so on, wh ich has positive infhence to cm puterbasis teach ingKeywords cmputer network hghereducaton quality course(审稿：黄逹中编辑：杨上游）（上接第25页）图17取部分的电路图综上所述，在实际等效电阻计算中，只有根据电路的具体形式及电阻之间的联接关系，选择正确、恰当的计算方法，掌握灵活、简便的运算技巧，才能准确而又快速地进行分析和计算。当然熟练掌握和运用这些方法和技巧不是一而就的，需要花一定的时间，下一番功夫，加强训练，不断总结，部分的电路图图16取才能逐步积累经验，真正掌握等效电阻的计算方法2和技巧。下也对称的特点，那么计算就更简单了，计算时只需取四分之一部分即可，如图17所示。（审：李火元编辑：朱德康）R=R..=1+11=15Q3294-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.http://www.cnki.net

[ 10]王颖娴. 高职院校精品课建设的思考 [ J]. 新课程 研究. 2009, ( 1). [ 11]何树全. 高校精品课程建设创新体系初探 [ J]. 福 建论坛. 2009, ( 2). Practice& Feedback of Com puterN etwork Quality Course Construction LIUH airong (Hua ng g an g Po ly te chn ic Co lle g e, Hu ang g a ng 438002) Abstract: N etw ork Q ua lity C ourses promo tion and app lication are them ain content o f teach ing reform of h igher universities and colleges. Combined w ith course construction , th is thesis has put forw ard Compu ter N etw ork Quality Courses teaching tasts after careful teaching analysis and systema tic design, and it also has d iscusses such re lavant issues as course teach ing competence system, teaching methods, practical teaching design ing concepts, w ebsite construction and teachig staff resources composing and so on , wh ich has positive influence to computer basis teach ing. K ey words: computer; network; h igher education; quality course (审稿: 黄逵中 编辑: 杨上游 ) (上接第 25页 ) 图 16 取 1 2 部分的电路图 下也对称的特点, 那么计算就更简单了, 计算时只 需取四分之一部分即可, 如图 17所示。 R ab = R ae= 1+ 1M1= 1. 5 8 图 17 取 1 4 部分的电路图 综上所述, 在实际等效电阻计算中, 只有根据 电路的具体形式及电阻之间的联接关系, 选择正 确、恰当的计算方法, 掌握灵活、简便的运算技巧, 才能准确而又快速地进行分析和计算。当然熟练 掌握和运用这些方法和技巧不是一蹴而就的, 需要 花一定的时间, 下一番功夫, 加强训练, 不断总结, 才能逐步积累经验, 真正掌握等效电阻的计算方法 和技巧。 (审稿: 李火元 编辑: 朱德康 ) # 32# 武汉电力职业技术学院学报 2010年 9月