《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第5章 矩阵

矩阵第五章5.1矩阵的运算5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式5.3矩阵的分块

第五章 矩阵 5.1 矩阵的运算 5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 5.3 矩阵的分块

宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧地球之变、生物之迷、日用之繁，无处不用数学。华罗庚一

宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧 、地球之变、生物之迷、日用之繁，无处不 用数学。 —— 华罗庚

5.1矩阵的运算一、内容分布5.1.1认识矩阵5.1.2矩阵的运算5.1.3矩阵的运算性质5.1.4方阵的多项式5.1.5矩阵的转置二、教学目的1.掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。2.掌握转置矩阵及其运算性质。3.掌握方阵的幂、方阵的多项式。三、重点、难点矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质

5.1 矩阵的运算 一、内容分布 5.1.1 认识矩阵 5.1.2 矩阵的运算 5.1.3 矩阵的运算性质 5.1.4 方阵的多项式 5.1.5 矩阵的转置 二、教学目的 1. 掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算法则及其基本性 质，并能熟练地对矩阵进行运算。 2. 掌握转置矩阵及其运算性质。 3. 掌握方阵的幂、方阵的多项式。 三、重点、难点 矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质

5.1.1认识矩阵设F是数域，用F的元素α，排成的m行n列的数表aaIna21a22a2naaamlm2mn称为F上m×n矩阵，简写：A=(ai,)mxn或A=(ai)矩阵的产生有丰富的背景：线形方程组的系数矩阵...，矩阵的应用非常广泛

5.1.1 认识矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a                称为F上 mn 矩阵, 简写: ( ) ( ) A  ai j mn 或A  ai j 矩阵的产生有丰富的背景: 线形方程组的系数矩 阵., 矩阵的应用非常广泛. 设F是数域, 用F的元素 aij 排成的m行n列的数表

5.1.2矩阵的运算中定义1(矩阵的数乘)给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为kajka12kainajlaina2ka21kaznka22a21a2na22kA=k..·++.kakakaaaam2m2mlmlmnmn定义2（矩阵的加法）给定两个mxn矩阵bbaila12ain12nba2Dan02a22a21a2n...B二A二........b6baaam2mlmlm2mnmn

5.1.2 矩阵的运算 定义1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A 的乘积定义为 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 n n n n m m mn m m mn a a a ka ka ka a a a ka ka ka kA k a a a ka ka ka                           定义2（矩阵的加法） 给定两个 m n  矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a                11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn b b b b b b B b b b               

A和B加法定义为ai2 +b2ai+buain+b,ina2i+b21a22+b22a2n+banA+B=+bLam+bm+bam2amlm2mmm定义3（矩阵的乘法）给定一个m×n矩阵和一个n×l矩阵b2biaila12ain03b3a21a22aanB=-...67b6aaan2mlm2nlmn

A和B加法定义为: 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b                          定义3（矩阵的乘法）给定一个 m n  矩阵和一个 n l  矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a              11 12 1 21 22 2 1 2 l l n n nl b b b b b b B b b b             

A和B的乘法定义为"WWWa,bi2a,buarbila2,b2azbia2,baAB=Wnbilamb,mibami11=注意：相加的两个矩阵必须同型，结果也同型：相乘的两个矩阵必须：第一个的列数等于第二个的行数，试问：结果的形状？

A和B的乘法定义为                                        n i m i i l n i m i i n i m i i n i i i l n i i i n i i i n i i i l n i i i n i i i a b a b a b a b a b a b a b a b a b AB 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1       注意: 相加的两个矩阵必须同型, 结果也同型; 相乘的两 个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数, 试问: 结果 的形状?

5.1.3矩阵的运算性质矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B，C均为F上的矩阵，k，1为数域F中的数）注意：矩阵的乘法不满足交换律，消去律：A±O.AB=AC=B=C也不满足满足：AB=BA的两个矩阵称为可交换的k(IA)=(k)A数乘结合律(5）酒(6）数乘分配律k(A+B)=kA+kB(k+D)A=kA+lA乘法结合律（AB)C=A(BC）(7)k(AB)=(kA)B = A(kB)（8）乘法分配律AB+C)=AB+BC(B+C)A= BA+CA

5.1.3 矩阵的运算性质 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A， B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数） (1) 加法交换律 A B  B  A (2) 加法结合律 (A B) C  A (B C) (3) 零矩阵 A 0  A (4) 负矩阵 A  (A)  0 (5) 数乘结合律 k(lA)  (kl)A (6) 数乘分配律 k(A B)  kA kB (k  l)A  kA lA (7) 乘法结合律 (AB)C  A(BC) k(AB)  (k A)B  A(k B) (8) 乘法分配律 A(B C)  AB BC (B C)A  BA CA 注意: 矩阵的乘法不满足交换律, 消去律: A  0, AB  AC  B  C 也不满足. 满足: AB  BA 的两个矩阵称为可交换的

例1已知A=B=求3A-2B例2 已知A=B且A+2X=B，求X21-求AB例3若A=K福

例 1 已知                            1 2 5 0 5 3 0 1 4 3 2 1 , 4 0 3 2 0 3 2 1 1 2 3 1 A B , 求 3A2B. 例 2 已知 , 3 2 1 6 5 1 9 7 7 5 2 4 , 2 4 6 8 1 5 7 9 3 1 2 0                         A  B 且 A 2X  B, 求X . 例 3 若 , 2 1 0 1 2 3 , 3 1 1 2 2 3                       A  B 求 AB

O例5求与矩阵A=可交换的一切矩阵例6 证明：如果 CA=AC,CB=BC,则有(A+ B)C=C(A+ B);(AB)C=C(AB)

例 5 求与矩阵                0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A 可交换的一切矩阵 . 例 6 证明: 如果 CA AC, CB  BC , 则有 ( ) ( ). ( ) ( ); AB C C AB A B C C A B    