《高等代数》课程教学资源（拓展资料）一阶常系数线性齐次微分方程组的求解

一阶常系数线性齐次微分方程组的求解模型准备一只虫子在平面直角坐标系内爬行，开始时位于点Po(1，0)处.如果知道虫子在点P(x,y)处沿x轴正向的速率为4x-5y，沿轴正向的速率为2x-3y.如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程？yt何去何从？t图31虫子爬行的轨迹模型假设设1时刻虫子所处位置的坐标为(x(0),J(0)模型构成由已知条件和上述假设可知[dx = 4x -5y,dt而且(x(0), y(0))=(1, 0).=2x-3y, dt现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程],则[E-AI==4,54-模型求解令A==(2+1)(2-2).可见A的特2-3-2≥+3征值为=—1,2=2.(-E-A)x=0的一个基础解系为：5i=(1,1);(2E-A)x=0 的一个基础解系为：52=(5,2)T-10令 P=(5i, 52),则 P-AP=((02)记X并且作线性变换X=PY，则Y=Px,dyL=pidx-1. 0= P-"AX= P"APY=02dtdr即

du/dt(av/a)-( 9)()c,e故u=Cle-,V=C2e2',即Y=因而C.)- Yt-0 =PXx-0-(-2/3 5/3)-2/31/3-1/301/3C.于是im-t2S20m1+513211X213e+325tse2x=-e-33这就是说，虫子爬行的轨迹的参数方程为22y:3如果在Matlab命令窗口输入以下命令>>ezplot(-2/3*exp(-t)+5/3*exp(2*t)"，'-2/3*exp(-t)+2/3*exp(2*t)"，[0,1J)>> grid on:>>axis([0,12,0,5])Matlab执行后得

口回区JFigure Ho-File Edit View InsertIools Hindow HelpHAZLOOx=-2/3exp(t)+6/3exp(2t).y=-2/3exp(-t)+2/3exp(2t)D132---1261012048X图2Matlab绘制的虫子爬行轨迹模型分析从图2可以看出虫子爬行的轨迹接近一条直线Matlab实验题-只虫子在平面直角坐标系内爬行开始时位于点Po(0，1)处.如果知道虫子在点P(x,v)处沿x轴正向的速率为x+y沿v轴正向的速率为2x-y.求虫子爬行的轨迹的参数方程，并绘制虫子爬行的轨迹