《高等代数》课程教学资源（拓展资料）应用矩阵编制Hill密码

应用矩阵编制HilI密码密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用，现代密码学涉及很多高深的数学知识.这里无法展开介绍：请求重传菜菜兴解信言加编码馆原梦图1保密通信的基本模型密码学中将信息代码称为密码，尚未转换成密码的文字信息称为明文，由密码表示的信息称为密文从明文到密文的过程称为加密，反之为解密．1929年，希尔(Hill)通过线性变换对待传输信息进行加密处理，提出了在密码史上有重要地位的希尔加密算法，下面我们略去一些实际应用中的细节，只介绍最基本的思想.模型准备若要发出信息action，现需要利用矩阵乘法给出加密方法和加密后得到的密文，并给出相应的解密方法模型假设（1）假定每个字母都对应一个非负整数，空格和26个英文字母依次对应整数0~26(见下表)表1空格及字母的整数代码表空格EGEHMABCDK102456789101121313NU0TVWXZPQRsY14151819202122252616172324(2）假设将单词中从左到右，每3个字母分为一组，并将对应的3个整数排成3维的行向量，加密后仍为3维的行向量，其分量仍为整数模型建立设3维向量x为明文，要选一个矩阵A使密文y=xA，还要确保接

收方能由y准确地解出x.因此A必须是一个3阶可逆矩阵，这样就可以由y=xA得x=VA-l为了避免小数引起误差，并且确保也是整数向量，A和A-l的元素应该都是整数，注意到，当整数矩阵A的行列式=1时，A-也是整数矩阵，因此原问题转化为(1）把action翻译成两个行向量：x1,x2.(2)构造一个行列式=±1的整数矩阵A(当然不能取A=E)(3）计算x1A和x2A.(4)计算A-l模型求解（1）由上述假设可见xi=(1,3,20),x2=(9,15,14).(100)(2）对3阶单位矩阵E=010进行几次适当的初等变换（比如把某一行的(001)整数被加到另一行，或交换某两行），根据行列式的性质可知，这样得到的矩阵A(110)的行列式为1或-1.例如A=211, [A|=-1.322）(110)(3) yI= xiA = (1, 3, 20)211=(67,44,43),1(322)(110)J2= Ax2= (9, 15, 14)211(81,52,43)(322)(110100100021韧等行变换2010010-2可得1111(4)由(A,E)=(322001)(001-11(0 2-1A-1 =1 -2 1-1-1 1这就是说，接收方收到的密文是67，44，43，81，52，43.要还原成明文，只要计算（67，44,43)A-和(81,52,43)A-，再对照表9"翻译"成单词即可模型分析如果要发送一个英文句子，在不记标点符号的情况下，我们仍然可以把句子(含空格)从左到右每3个字符分为一组（最后不足3个字母时用空格补上)

模型检验(67,44,43)A-l=(1,3,20),(81,52,43)A-l=(9,15,14),参考文献杨威，高淑萍，线性代数机算与应用指导，西安：西安电子科技大学出版社，2009页码：98-102Matlab实验题按照上面的加密方法，设密文为：112，76,57.51,38，18,84,49,49,68,41,3283，55，37，70,45,25，问恢复为原来的信息是什么？