《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第2章 多项式

第二章多项式2.1一元多项式的定义和运算2. 2多项式的整除性2.3多项式的最大公因式2.4多项式的分解重因式2.52.6多项式函数多项式的根2. 7复数和实数域上多项式2.8有理数域上多项式2.9多元多项式2.10对称多项式

第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 2.2 多项式的整除性 2.3 多项式的最大公因式 2.4 多项式的分解 2.5 重因式 2.6 多项式函数 多项式的根 2.7 复数和实数域上多项式 2.8 有理数域上多项式 2.9 多元多项式 2.10 对称多项式

课外学习2：从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论课外学习3：代数与代数基本定理的历史课外学习4：推广的余数定理及算法课外学习5：代数元的多项式的共轭因子

课外学习2：从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论 课外学习3：代数与代数基本定理的历史 课外学习4：推广的余数定理及算法 课外学习5：代数元的多项式的共轭因子

代数是搞清楚世界上数量关系的工具一一怀特黑德（1961—1947）当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。一一柯普宁（前苏联哲学家）快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。一一匿名者

代数是搞清楚世界上数量关系的工具。 ――怀特黑德（1961－1947） 当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的 风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。 - -柯普宁(前苏联哲学家) 快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。 ――匿名者

2.1一元多项式的定义和运算一、内容分布2.1.1认识多项式2.1.4多项式的运算2.1.5多项式加法和乘法的运算规则2.1.2相等多项式2.1.6多项式的运算性质2.1.3多项式的次数二、教学目的掌握一元多项式的定义，有关概念和基本运算性质三、重点、难点一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质

2.1 一元多项式的定义和运算 一、内容分布 2.1.4 多项式的运算 二、教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 三、重点、难点 一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。 2.1.1 认识多项式 2.1.2 相等多项式 2.1.3 多项式的次数 2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则 2.1.6 多项式的运算性质

2.1.1认识多项式多项式令一个含有数1的数环.R上一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式ao +ajx+a,x? +...+a,x"都是肿的数这里n是非负整数而a(i=0,l.,n）者一元多项式常用符号f(x)g(x)…来表示1：在多项式(1)中，α。叫做零次项或常数项，ax叫做i次项，a，叫做i次项的系数2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系注数为零的项：若是某一个次项的系数是1，那么这个系数可以省略不写

2.1.1 认识多项式 多项式 令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或 一元多项式指的是形式表达式 n n  xaxaxaa 2 210 这里n是非负整数而 i     , ,1 ,0 nia 都是R中的数. 一元多项式常用符号     , xgxf ,  来表示. 注 1：在多项式(1)中, 0 a 叫做零次项或常数项, i i xa 叫做 i 次项, ai 叫做 i 次项的系数. 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系 数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那 么这个系数可以省略不写

2.1.2相等多项式定义若是数环R上两个一元多项式，f(x)和g(x)有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么f(x）和g(x)就说是相等f (x) =g (x)

2.1.2 相等多项式 定义 若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全 相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和 g (x)就说是相等 . f (x) = g (x)

2.1.3多项式的次数(a,±0a,x"叫做多项式ao+ax+a,x+...+a,xn的最高次项，非负整数n叫做多项式(a，￥0）的次数.记作ao+a,x+a,x+...+a,x"a°(f(x)注：系数全为零的多项式没有次数，这个多项式叫做零多项式，记为0

2.1.3 多项式的次数 叫做多项式 n n xa n n  xaxaxaa 2 210   an  0 的最高次项,非负整数n叫做多项式 n n  xaxaxaa 2 210   an  0 的次数. 记作    xf 0  注： 系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做 零多项式，记为 0

多项式的运算2.1.4多项式的加法给定数环R上两个多项式f(x)=ao +ax+a,x? +...+a,xng(x)= bo + b,x + b,x? +...+ bmxm且m≤n，f(x）和g(x)的加法定义为f(x)+ g(x)=(ao +bo)+(a +b,)x+(a, +b,)x? +..+(a, +b, )xbm+1 =...= b, = 0这里当m<n时，b

2.1.4 多项式的运算 多项式的加法 给定数环R上两个多项式   n n  xaxaxaaxf 2 210   m m  xbxbxbbxg 2 210 且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为             n nn   xbaxbaxbabaxgxf 2 1100 22 这里当m < n 时， m1  bb n  0

多项式的乘法给定数环R上两个多项式f(x)=ao +ajx+a,x? +...+a,x"mrmg(x)= bo + b,x+b,x? +...+b,mf(x)和g (x)的乘法定义为ntnth+mf(x)g(x)= Co + cx + C,x? +...+c,这里Ch =aob, +abk-- +..+ak--b, +a,bo, k=0, 1,2,.., n+m

多项式的乘法 给定数环R上两个多项式   n n  xaxaxaaxf 2 210   m m  xbxbxbbxg 2 210 f (x) 和g (x) 的乘法定义为     mn nn xcxcxccxgxf    2 210 kbabababac mn k kk k k     , ,2 ,1 ,0 110  011  这里

多项式的减法f(x)-g(x)= f(x)+(-g(x)

多项式的减法           xgxfxgxf