《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 行列式 1-5 克莱姆法则

第5节克拉默法则1.非齐次与齐次线性方程组的概念2.克拉默法则（定理1.5.1）3.齐次线性方程组的相关定理

第5节 克拉默法则 1. 非齐次与齐次线性方程组的概念 2. 克拉默法则(定理1.5.1) 3. 齐次线性方程组的相关定理

用消元法解二元线性方程组()ax+a12x2=b,UL(a21xa22x2-b2.(2)(1)xa22:a1ia22xi+a12a22x2=ba227(2)×a12::a12a21x+a12a22x2=b2a12两式相减消去×，得

用消元法解二元线性方程组    + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b (1) (2) (1) : a22 , a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 (2) : a12 , a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12 两式相减消去 x2，得

(a1ia22-a12a21)x,=b,a22-a12b2类似地，消去x，得(a1ia22-a12a21X2=a1ibzb,a21当11a22a12a21±0时，方程组的解为ai,b,-b,a21b,a22-ai2b2X2-XI=aiia22-a1221ai1a22-a12a21braiba21b2a12b2a22aila12anla12a21a22a21a22

; （a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 类似地，消去x1，得 , （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 当 a11a22 − a12a21  0时， 方程组的解为 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a a a a b a a b x − − = . 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 a a a a a b b a x − − = 21 22 11 12 2 22 1 21 a a a a b a b a = 21 22 11 12 12 2 11 1 a a a a a b a b =

1.齐次与非齐次线性方程组的概念aix+a12x2+..+a1nx,=ba21xi+a22x2+..+a2nx，=b2设线性方程组anixi+an2x2+-.+aux,=b,若常数项b，b,，,b不全为零，贝则称此方程组为非齐次线性方程组；若常数项b，b2，.，b，全为零此时称方程组为齐次线性方程组

       + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 1. 齐次与非齐次线性方程组的概念

2.克拉默法则（定理1.5.1）如果线性方程组aux,+a12x+...+ainxn=ba21xi+a22x2+..+a2nxn=b2(1)anx+anx+...+amxn=bana12aina22azna21的系数行列式不等于零，即D-￥0anlannan2

2.克拉默法则(定理1.5.1) 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 =  0

那么线性方程组）有解，并且解是唯一的，解可以表为DX其中D是把系数行列式D中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即b,aii...ai.i-1a..j+...ainD,=an...an.j-b,a.j+i...a

. D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的， 解可以表为 (1)

证明用D中第列元素的代数余子式AA2j·A依次乘方程组1的n个方程，得(aux,+ax,+...+ai.x,)A,=bA(a2x,+a22x,+...+a2.x.)A2)-b,A,)(a.x,+anx,+...+a.x.)A,=b.A.再把n个方程依次相加，得

证明 ( ) ( ) ( )       + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j  Anj 再把 n 个方程依次相加，得

ZaAr(amA,(aA-bAy由代数余子式的性质可知，上式中x的系数等于D而其余x（i≠）的系数均为0；又等式右端为D(2)Dx,=D,(i=1,2,..-,n)于是当D≠0时，方程组（2）有唯一的一个解D..D.D..D.二二x

, 1 1 1 1 1 1     = = = = =         + +         + +         n k n k k j n k k n k j j n k k j k j n k k k j a A x b A a A x  a A x  由代数余子式的性质可知, Dx D ( j 1,2, ,n). j = j =  . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 x D, 上式中 j的系数等于 而其余x (i j)的系数均为0; i  . 又等式右端为Dj 于是 (2) 当 D  0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解

由于方程组（2)与方程组（1）同解，故-.--o..-二也是方程组的（）解

由于方程组 与方程组 同解, (2) (1) 故 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 也是方程组的 解. (1)

例1解线性方程组-3x,+×2+X3=1,X-3x+x3-3,X+X-3x,=9-311[解答]D=1-31=-16±0-311

1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1, 3 3, 3 9. x x x x x x x x x − + + =   − + =   + − = 3 1 1 1 3 1 16 0 1 1 3 D − = − = −  − 例1 解线性方程组 [解答]