《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵 2-2 可逆矩阵

第2节 可逆矩阵

第2节 可逆矩阵

在数的乘法运算中，在矩阵的乘法运算中A?, AB-BA=-E0,ab=ba=1B=A-lbai

在数的乘法运算中, AB= BA=E ab = ba = 1 1 -1 b = = a a a≠ 0，    1 -1 a b = a = a b b 在矩阵的乘法运算中, A ?， -1 B = A

一、可逆矩阵的概念定义1对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B使得AB=BA=E则称A是可逆矩阵，并称B为A的逆矩阵

定义1 对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B, AB=BA=E 则称A是可逆矩阵 并称B为A的逆矩阵 一、可逆矩阵的概念 使得

02例如，设A301/20则A的逆矩阵为1/30x如 4-(C) -(C Va),有AB-BA=E，故B是A的逆矩阵

例如, 设             1 -1 1 2 1 2 = , = , 1 1 -1 2 1 2 A B 有AB=BA=E, 故B是A的逆矩阵  ，       = 0 3 2 0 A  ；       0 1 3 1 2 0 则A的逆矩阵为 又如

注若A可逆，则A的逆矩阵唯一A的逆矩阵记为A-1.即若AB-BA-E，则B-A-1

注 若A可逆 则A的逆矩阵唯一 A的逆矩阵记为A−1  即若AB=BA=E  则B=A−1 

例1设n阶矩阵A满足A-3A-4E=0证明：A可逆，并求其逆矩阵证明：由A2-3A-4E=0,得A(A-3E)=4E,一即A(A-3E)-E,故A可逆，且4-（4-3E）A

- 3 - 4 0. 2 例1 设n阶矩阵A满足 A A E = 证明: A 可逆，并求其逆矩阵. 证明: 由 A 2 - 3A- 4E = 0， 得 A(A− 3E) = 4E, 即 ( ) E， A E A = − 4 3 故 A 可逆，且 ( ) . 4 1 A 3E A − = −

0213设A =0,求A的逆矩阵00答案A-11

答案

A(a,az ...an, 0)一般地，若则A1一

一般地，若              1 2 1 2 0 0 0 0 ( 0) 0 0 n n a a A = a a a , a 则

2例设A0因为C所以A不可逆有零行（或零列）的矩阵不可逆

例 设         = 0 0 1 2 A                 c d a b 0 0 1 2 因为 所以A不可逆         = 0 0          0 1 1 0 有零行（或零列）的矩阵不可逆                 0 3 0 2 c d a b                 = 0 1 1 0 0 0

定义2设A为n阶方阵，若A+0，则称A是非奇异矩阵（或非退化矩阵），否则称A是奇异矩阵（或退化矩阵）

定义2 设A为n阶方阵 若|A|0 , 则称A是 非奇异矩阵 (或非退化矩阵), 否则称A是 奇异矩阵(或退化矩阵)