《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 线性方程组 4-1 线性方程组的表达 4-2 线性方程组的解法

第4章线性方程组线性方程组理论是线性代数最基本的内容之一，它不仅是中学里一次方程组讨论的最一般的推广，而且称得上是整个线性代数的一个缩影对于一般线性方程组，讨论的主要问题有：1.有没有解？有解的条件是什么？2.有解时，解的个数是多少？如何求出解？3.解不止一个时，解之间有没有联系？围绕这些问题，本章最终将给出线性方程组的完整理论

第4章 线性方程组 线性方程组理论是线性代数最基本的内容之一, 它 不仅是中学里一次方程组讨论的最一般的推广, 而且称 得上是整个线性代数的一个缩影. 对于一般线性方程组, 讨论的主要问题有： 1.有没有解？有解的条件是什么？ 2.有解时, 解的个数是多少？如何求出解？ 3.解不止一个时, 解之间有没有联系？ 围绕这些问题, 本章最终将给出线性方程组的完整理论

第1节线性方程组的表达线性方程组的不同表达对线性方程组的理论研究起着重要的作用.在理论证明中，采用不同的表达形式便于我们运用不同的工具来讨论线性方程组1.线性方程组的三种形式2.线性方程组的相容性3.典型例题

第1节 线性方程组的表达 1. 线性方程组的三种形式 2. 线性方程组的相容性 3. 典型例题 线性方程组的不同表达对线性方程组的理论研 究起着重要的作用. 在理论证明中, 采用不同的表达 形式便于我们运用不同的工具来讨论线性方程组

1.线性方程组的三种形式线性方程组的一般形式是：aux,+ax+...+ainx,=ba21x.+a22x2+.+a2nx,=b2(4.1)amix,+am2x2+...+amx,=bm这种形式称为联立方程形式

1.线性方程组的三种形式 线性方程组的一般形式是： （4.1） 这种形式称为联立方程形式.        11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 + + + = + + + = + + + = n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

1.线性方程组的三种形式线性方程组的一般形式是：ax+ax+...+ainx,-ba21x+a22x2+..+a2nx,=b2（4.1）amix,+am2x2+...+amnx,=bm这种形式称为联立方程形式

1.线性方程组的三种形式 线性方程组的一般形式是： （4.1） 这种形式称为联立方程形式.        11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 + + + = + + + = + + + = n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

根据向量的线性运算，上述形式还可以写作：b（4.2）XXb0am2并进一步记作(4.3)xa,+xa2+..+x,a,=β这种形式称为方程组的向量形式

并进一步记作 (4.3) 这种形式称为方程组的向量形式. x + x + + x = 1 1 2 2 α α n n α β                                         11 12 1 1 1 2 1 2 n n m m mn m a a a b x + x + + x = a a a b 根据向量的线性运算, 上述形式还可以写作： （4.2）

进一步写成：-β(4.4)(1,a2.,a)若记大aA-(,...α,)-mmmX

进一步写成 ： (4.4) 若记             12 1 2 ( α , α , , α n ) = β n xxx 11 1 1 1 = ( α α ) = n n m mn a a A a a , ,          ，             12 = n xx X x

进而可记为：(4.5)AX=β其中A为系数矩阵，上式是一个矩阵方程，故称为矩阵形式

进而可记为： (4.5) 其中A为系数矩阵, 上式是一个矩阵方程, 故称为矩阵形式. AX = b

这三种形式，所记的是同一个对象，只是所用工具不同、表达角度不同而已.通过这三种形式，矩阵、向量组、方程组三者互相沟通，这便于我们从不同的角度、运用不同的工具来讨论线性方程组

角度、运用不同的工具来讨论线性方程组. 这三种形式, 所记的是同一个对象, 只是所用工 具不同、表达角度不同而已. 通过这三种形式, 矩阵、 向量组、方程组三者互相沟通, 这便于我们从不同的

在线性方程组AX=β中，当β-0时，称其为齐次线性方程组，当β0时，称其为非齐次线性方程组

在线性方程组 中, 当b=0时, 称其为齐次线性方程组, 当b≠0时, 称其为非齐次线性方程组. AX = b

例如，若非齐次方程组的联立方程形式：X-X2+X3-3x4=1X,-2x2+3x-×4=22x,+X2+3x3-X4=3则其向量形式：矩阵形式：

例如，若非齐次方程组的联立方程形式： 则其向量形式： 矩阵形式：      + + − = − + − = − + − = 2 3 3 2 3 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x