《概率论与数理统计》课程教学课件（讲义）第七章 假设检验 第二讲 两样本正态参数的检验（打印版）

目录第七章假设检验187.2重要参数检验1一样本正态总体均值和方差的检验1$7.2.1两样本正态总体的情形6$7.2.2成对数据7$7.2.30-1分布中未知参数p的假设检验8$7.2.4置信区间和假设检验之间的关系9$7.2.5i

8 ¹ 1ÔÙ bu 1 §7.2 ­‡ëêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §7.2.1 oNþŠÚu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §7.2.2 üoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §7.2.3 ¤éêâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §7.2.4 0-1 ©Ù¥™ëêp bu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §7.2.5 &«mÚbuƒm'X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 i

第七章假设检验87.2重要参数检验本节介绍最基本的假设检验问题：一样本和两样本正态总体的有关均值和方差的检验，简单的大样本检验(0-1分布参数的假设检验)，87.2.1一样本正态总体均值和方差的检验现实中经常碰到诸如此类的问题：假设用于某用途的合格铁钉要求长度为10厘米现有经销商从生产厂家订购了一批这样的铁钉，为了检验该批检验产品是否合格，可以从中抽取一小部分进行测量检验，通常铁钉的长度服从一个正态分布，这类问题属于一样本正态总体的假设检验问题一般地，设总体X~N(μu,a2),-0;Xi,*,Xn是取自总体X的一个样本.取显著性水平为.(1）方差已知时均值的检验先考虑双侧假设，即要检验Ho:=oH:o由于μ的极大似然估计为文，取“标准化”后的检验统计量X-MOU = u(Xi,**,Xn)= VnO注意到当Ho成立时，U～N(0,1)，UI应该较小，反之当|UI的观测值u(r1,，an）较大时，不利于零假设H。应该拒绝之.所以选拒绝域形如[IU > T].要求显著性水平为Q，即PHo(IUI> T) = α解得T=uα/2.于是检验的拒绝域为[[U]>Ua/2]1

1ÔÙ bu §7.2 ­‡ëêu !0Äbu¯K: ÚüoNk'þŠÚu , {üŒu(0-1 ©Ùëêbu). §7.2.1 oNþŠÚu y¢¥²~-ÃXda¯K: b^u,^å܂c¹‡¦ݏ10 f’, yk²ûl)‚[¾ 1ùc¹,  uT1u¬´Ä܂, Œ± l¥ÄÜ©?1ÿþu, Ï~c¹ÝÑl‡©Ù, ùa¯Káu oNbu¯K. „/, oNX ∼ N(µ, σ2 ), −∞ 0; X1, · · · , Xn ´goNX  ‡. wÍ5Y²α. (1) ®žþŠu kÄVýb, =‡u H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ 6= µ0. duµ 4Œq,OX¯, “IOz”￾uÚOþ U = u(X1, · · · , Xn) = √ n X¯ − µ0 σ 5¿H0 ¤áž, U ∼ N(0, 1), |U| AT, ‡ƒ|U| *ÿŠu(x1, · · · , xn) Œ ž, Ø|u"bH0 ATáýƒ. ¤±Àáý/X {|U| > τ}. ‡¦wÍ5Y²α, = PH0 (|U| > τ ) = α, )τ = uα/2 . u´uáý {|U| > uα/2}. 1

即当观测值（a1,，n）满足不等式Vr-0l ta/26时拒绝Ho类似地，检验单侧假设Ho:μ=μoHi:μ>μo或者Ho:μμoHi:μ>μ仍然用统计量U，由于U大时不利于Ho,取拒绝域为[U > ua].而检验另一个单侧假设Ho:=oH:o或者Ho:≤μoH:μo的拒绝域为[Uuα/2-由样本算得检验统计量的值为u~2.16，如显著性水平为0.01，则临界值为u0.005～2.58，跟检验统计量的值比2

=*ÿŠ(x1, · · · , xn) ÷vت √ n |x¯ − µ0| σ > uα/2 žáýH0. aq/, uüýb H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ > µ0 ½ö H0 : µ ≤ µ0 ↔ H1 : µ > µ0 E,^ÚOþU, duU ŒžØ|uH0, áý {U > uα} . u,‡üýb H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ uα/2 . dŽuÚO þŠu ≈ 2.16, XwÍ5Y²0.01, K.Šu0.005 ≈ 2.58, ‹uÚOþŠ' 2

较发现不能拒绝零假设，即不能推翻铁钉平均长度为3厘米的假设：而如果显著性水平为0.05时，临界值为u0.025=1.96，此时可以拒绝零假设，认为铁钉平均长度不等于3厘米这个例子说明结论可能跟显著性水平的选择有关：显著性水平越小，零假设被保护得越好从而更不容易被拒绝例7.2.2.对正态总体N(μ,a2)(其中2已知)下的假设检验问题Ho:μ=μo→H1:μ≠μo,如果我们还要求“犯第二类错误的概率要小于指定的β>0”该怎么办？解：根据功效函数和两类错误的定义，知道等价的要求(7.2.1)βo(μ)≥1-β, μ tn-1(α/2)] .3

uyØUáý"b, =ØUí€c¹²þݏ3 f’b; XJwÍ5Y² 0.05ž, .Šu0.025 = 1.96, džŒ±áý"b, @c¹²þÝØu3 f’. ù‡~f`²(،U‹wÍ5Y²ÀJk': wÍ5Y², "bo Ðl ØN´áý. ~ 7.2.2. éoNN(µ, σ2 )(Ù¥σ 2®)ebu¯KH0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ 6= µ0§ XJ·‚„‡¦/‹1a†ØVLJu½β > 00TNoº )µŠâõ¼êÚüa†Ø½Â§d‡¦ βφ(µ) ≥ 1 − β, µ @oŒ" (2) ™žþŠu Äu H0 : µ = µ0 ↔ µ 6= µ0, du™, Œ±3òX¯ IOzL§¥^S 2 OoNσ 2 , uÚO þ T = √ n X¯ − µ0 S . du3H0 e, T ∼ tn−1, u´áý¤ {|T| > tn−1(α/2)} . 3

此检验称为t检验类似地可以得到另外两个单侧假设的检验拒绝域，列于表7.2.1中例7.2.3.（例7.2.1续）设方差未知，则在水平0.01和0.05下能否认为铁钉平均长度为3厘米?解：这是方差未知时关于均值的假设检验问题，Ho:μ=3-Hi:μ+3取检验统计量为T=Vn(X-3)/S，检验的拒绝域为|TI>tn-1(α/2).由样本算得检验统计量的值约为2.21，与显著性水平0.01对应临界值t15(0.005）~2.95比较，不能拒绝零假设，而与显著性水平0.05对应临界值t15(0.025）～2.13比较，可以拒绝零假设，即在显著性水平0.01下不能拒绝铁钉平均长度为3厘米的假定，但在显著性水平0.05下可以认为铁钉平均长度不等于3厘米，此结论与方差已知情形一致(3）方差的检验考虑假设检验问题Ho:g2=0-Hi:0?+%对均值已知的情形，由。2的极大似然估计62 =↓(X - μ)2ni=l可以构造检验统计量=1712-0-%在Ho下，x2～x，x2的平均值为n，而在H下，x2=%的均值为%nn,因此当x2的值过于偏离n时应该拒绝Ho，于是拒绝域取成[x2 xn(α/2)) 对均值未知的情形，构造检验统计量x2= (n-1)s2%4

du¡t u. aq/Œ±, ü‡üýbuáý, uL7.2.1¥. ~ 7.2.3. (~7.2.1Y) ™, K3Y²0.01 Ú0.05 eUÄ@c¹²þݏ3 f ’? ): ù´™ž'uþŠµ bu¯K, H0 : µ = 3 ↔ H1 : µ 6= 3 uÚOþT = √ n(X¯ − 3)/S, uáý|T| > tn−1(α/2). dŽuÚ OþŠ2.21, †wÍ5Y²0.01 éA.Št15(0.005) ≈ 2.95 ', ØUáý"b , †wÍ5Y²0.05 éA.Št15(0.025) ≈ 2.13 ', Œ±áý"b, =3wÍ 5Y²0.01 eØUáýc¹²þݏ3 f’b½, 3wÍ5Y²0.05 eŒ±@ c¹²þÝØu3 f’, d(؆®œ/. (3) u Äbu¯K H0 : σ 2 = σ 2 0 ↔ H1 : σ 2 6= σ 2 0 . éþŠ®œ/, dσ 2 4Œq,O σˆ 2 = 1 n Xn i=1 (Xi − µ) 2 Œ±EuÚOþ χ 2 = 1 σ 2 0 Xn i=1 (Xi − µ) 2 = nσˆ 2 σ 2 0 . 3H0 e, χ 2 ∼ χ 2 n , χ 2 ²þŠn, 3H1 e, χ 2 = σ 2 σ 2 0 nσˆ 2 σ2 þŠσ 2 σ 2 0 n 6= n, Ïdχ 2 ŠLu ln žATáýH0, u´áý¤  χ 2 χ2 n (α/2) . éþŠ™œ/, EuÚOþ χ 2 = (n − 1)S 2 σ 2 0 , 4

其中s2为样本方差.在H。下，×2~x2-1.拒绝域取成[x2 xn-1(α/2))对于单侧假设，可以类似得到检验的拒绝域，参看表7.2.1.上述检验称为x2检验例7.2.4.（例7.2.1续）在水平0.1下能否认为铁钉的标准差大于0.1厘米？解：这是均值未知时关于方差。2的假设检验问题Ho:g2≤0.1?→H1:g2>0.12取检验统计量为x2=(=1,检验的拒绝域为(x2>x-1(a)。由样本算得检验统计量012的值x2~14.32，与显著性水平0.2对应临界值xis(0.1)~22.31比较，不能拒绝零假设，即在显著性水平0.1下可以认为铁钉的标准差小于0.1.表7.2.1一样本正态总体N(μ,α2)检验对象检验统计量分布拒绝域[U| > ua/2μ(2已知)U = Vn(X - μo)/oN(0, 1)U>uaUtn-1(α/2)μ(o?未知)T = Vn(X - μo)/Stn-1T >tn=1(α)T x(α/2)或者x x(αa)x2 _1(α/2)或者x2 xn-1(a)x2 o和μ%和？%表7.2.1总结了有关一样本正态总体的假设检验5

Ù¥S 2 . 3H0 e, χ 2 ∼ χ 2 n−1 , áý¤  χ 2 χ2 n−1 (α/2) . éuüýb, Œ±aquáý, ëwL7.2.1. þãu¡χ 2 u. ~ 7.2.4. (~7.2.1Y) 3Y²0.1 eUÄ@c¹IOŒu0.1 f’? ): ù´þŠ™ž'uσ 2 bu¯K, H0 : σ 2 ≤ 0.1 2 ↔ H1 : σ 2 > 0.1 2 . uÚOþχ 2 = (n−1)S 2 0.1 2 , uáý{χ 2 > χ2 n−1 (α)}. dŽuÚOþ Šχ 2 ≈ 14.32, †wÍ5Y²0.2 éA.Šχ 2 15(0.1) ≈ 22.31 ', ØUáý"b, = 3wÍ5Y²0.1 eŒ±@c¹IOu0.1. L 7.2.1 oNN(µ, σ2 ). ué uÚOþ ©Ù áý† µ (σ 2®) U = √ n(X¯ − µ0)/σ N(0, 1)    |U| > uα/2 U > uα U tn−1(α/2) T > tn−1(α) T χ2 n (α/2)½öχ 2 χ2 n (α) χ 2 χ2 n−1 (α/2)½öχ 2 χ2 n−1 (α) χ 2 µ0 Úµ σ2 0 Úσ 2 < σ2 0 . L7.2.1 o( k'oNbu. 5

87.2.2两样本正态总体的情形为了检验某肥料是否能显著提高玉米产量，可以设计一个随机试验：选择两块条件一样的试验区，把两试验区各分成若干小块，一个试验区的各小块施肥，另一个试验区的各小块不施肥，最后统计收成，可以采用如下的检验方法来检验玉米产量差别，从而知道肥料是否有效设总体X~N(μ,),~N(μ2,2),-000;X1,,X是从总体X中抽取的一个样本，Yi，*，Yn是从总体Y中抽取的一个样本.设来自不同总体的样本相互独立.下面设考虑有关均值差μ1一2和方差比/的检验.取显著性水平为α.举例说明例7.2.5.甲乙两个农业试验区种植玉米，除了甲区施磷肥外，其他试验条件都相同，把两个试验区分别均分成10个和9个小区统计产量（单位：千克），得数据如下甲区6257656063585606058乙区50595657585565557假定甲乙两区中每小块的玉米产量分别服从N(μ1,α2)，N(μ2,2)，其中μ1,μ2,α2未知试问在显著性水平α三0.1下磷肥对玉米的产量是否有效？解：磷肥对玉米产量有效果等价于μ1>2，故将其设为对立假设，假设检验问题是Hμμ=0Hμ>μ2构造基于μ1-μ2的极大似然估计X-的检验统计量X-YT=SuVi+!+当Ho成立时，T～tm+n-2，于是拒绝域为[T > tm+n-2(α)] .由所得数据算得检验统计量T的观测值为5-9t=:==3.23suVm+I由α=0.1得临界值为tm+n-2(α/2)=t17(0.1)~1.33<3.23,因此拒绝Ho,即可以在显著性水平0.1下认为磷肥对玉米的产量有显著性影响6

§7.2.2 üoNœ/  u,´ÄUwÍJpŒ’þ, Œ±O‡‘ÅÁ: ÀJü¬^‡ Á«, rüÁ«ˆ©¤eZ¬, ‡Á«ˆ¬, ,‡Á« ˆ¬Ø, ￾ÚO¤, Œ±æ^Xeu{5uŒ’þO, l ´Äk. oNX ∼ N(µ1, σ2 1 ), Y ∼ N(µ2, σ2 2 ), −∞ 0; X1, · · · , Xn ´l oNX ¥Ä‡, Y1, · · · , Yn ´loNY ¥Ä‡. 5gØÓoN ƒpÕá. e¡Äk'þŠµ1 − µ2 ڐ'σ 2 1 /σ2 2 u. wÍ5Y² α. Þ~`². ~ 7.2.5. `¯ü‡à’Á««‡Œ’, Ø `« , Ù¦Á^‡ÑƒÓ, r ü‡Á«©Oþ©¤10 ‡Ú9 ‡«ÚOþ(ü : ZŽ) , êâXe `« 62 57 65 60 63 58 57 60 60 58 ¯« 50 59 56 57 58 57 56 55 57 b½`¯ü«¥z¬Œ’þ©OÑlN(µ1, σ2 ), N(µ2, σ2 ), Ù¥µ1, µ2, σ2 ™ . Á¯3wÍ5Y²α = 0.1 eéŒ’þ´Äk? ): éŒ’þkJduµ1 > µ2, òُéáb, bu¯K´ H0 : µ1 ≤ µ2 = 0 ↔ H1 : µ1 > µ2. EÄuµ1 − µ2 4Œq,OX¯ − Y¯ uÚOþ T = X¯ − Y¯ Sw q 1 m + 1 n . H0 ¤áž, T ∼ tm+n−2, u´áý {T > tm+n−2(α))} . d¤êâŽuÚOþT *ÿŠ t = x¯ − y¯ sw q 1 m + 1 n = 3.23. dα = 0.1 .Štm+n−2(α/2) = t17(0.1) ≈ 1.33 < 3.23, ÏdáýH0, =Œ±3wÍ 5Y²0.1 e@éŒ’þkwÍ5K. 6

例7.2.6.在例7.2.5中假定了两个正态总体的方差是相等的，即2=a2=α2.现在我们根据样本来检验这个方差齐性的假设，即要检验giHo : =1→ H:+1a2a2解：因为2和的极大似然估计分别是62 =-1(X - X)2, 2 -I(-)2.m=lni=l在=2/的极大似然估计=2/的基础上可以构造检验统计量S_ (m-1)o/mF=S第=（n-1)2/n注意到F中的分子和分母分别是X和Y的样本方差。当零假设成立时，F～Fm-1,n-1于是拒绝域为[F Fm-1,n-1(1-.α/2),由数据算得检验统计量F的观测值f=1.19.如果取显著性水平α=0.2，那么临界值为F9.8(0.1)=2.44,F9.8(0.9)=1/F8.9(0.1)=0.41(如果X～~Fm.n，则1/X~Fn,m).易见0.41<1.19<2.44，因此不能拒绝Ho，即在显著性水平0.2下可以认为上例中所作的方差齐性假定是合理的表7.2.2总结了两样本正态总体的双侧假设检验87.2.3成对数据在上述两样本正态总体的假设检验中，要求两个样本是独立的，但是没有要求样本量相等．有一类数据叫做成对数据[(X1,Yi),*·，(Xn，Yn))，比如一个病人在用药前后测得的指标分别为X和Y，则X与Y总是一起出现的，且由于它们是同一个体的指标，故具有很大的相关性而绝对不是独立的，这与两样本正态总体有本质区别另外，两样本检验问题要求样本X1，·，Xm是同分布的(Y1,,Yn亦然)，而成对数据则无此要求，而要求X1－Y1，Xn－Yn是同分布.比如病人可以是来自两个不同性别、种族、年龄层的人要检验用药前后的指标有无显著差别，可以构造一个新的总体Z=Y-X及样本Z1=X1-Yi,**，Zn=XnYn，相应的假设检验是一样本的！在实际问题中，如果发现有两个样本且其样本量是相等的，则要检查独立性和同分布性，否则可能是成对数据7

~ 7.2.6. 3~7.2.5¥b½ ü‡oN´ƒ, =σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2 . y3·‚ Šâ5uù‡à5b, =‡u H0 : σ 2 1 σ 2 2 = 1 ↔ H1 : σ 2 1 σ 2 2 6= 1. ): Ϗσ 2 1 Úσ 2 2 4Œq,O©O´ σˆ 2 1 = 1 m Xm i=1 (Xi − X¯) 2 , σˆ 2 2 = 1 n Xn i=1 (Yi − Y¯ ) 2 . 3θ = σ 2 1 /σ2 2 4Œq,Oˆθ = ˆσ 2 1 /σˆ 2 2 Ä:þŒ±EuÚOþ F = S 2 1 S 2 2 = (m − 1)ˆσ 2 1 /m (n − 1)ˆσ 2 2 /n . 5¿F ¥©fÚ©1©O´X ÚY . "b¤áž, F ∼ Fm−1,n−1. u´áý {F Fm−1,n−1(1 − α/2)}. dêâŽuÚOþF *ÿŠf = 1.19, XJwÍ5Y²α = 0.2, @o.Š F9,8(0.1) = 2.44, F9,8(0.9) = 1/F8,9(0.1) = 0.41 (XJX ∼ Fm,n, K1/X ∼ Fn,m). ´ „0.41 < 1.19 < 2.44, ÏdØUáýH0, =3wÍ5Y²0.2 eŒ±@þ~¥¤Š à5b½´Ün. L7.2.2 o( üoNVýbu. §7.2.3 ¤éêâ 3þãüoNbu¥, ‡¦ü‡´Õá, ´vk‡¦ þƒ. kaê≤éêâ{(X1, Y1), · · · ,(Xn, Yn)}, 'X‡¾<3^†c￾ÿ I©OX ÚY , KX †Y o´åÑy, …du§‚´Ó‡NI,  äk錃'5 ýéØ´Õá, ù†üoNkŸ«O. , , ü u¯K‡¦X1, · · · , Xm ´Ó©Ù(Y1, · · · , Yn ½,), ¤éêâKÃd‡¦, ‡¦X1 − Y1, · · · , Xn − Yn ´Ó©Ù. 'X¾<Œ±´5gü‡ØÓ5O!«x!c#￾ <. ‡u^†c￾IkÃwÍO, Œ±E‡#oNZ = Y − X 9 Z1 = X1 − Y1, · · · , Zn = Xn − Yn, ƒAbu´! 3¢S¯K¥, XJu ykü‡…Ùþ´ƒ, K‡uÕá5ÚÓ©Ù5, ÄKŒU´¤éêâ. 7

表7.2.2两样本正态总体的假设检验分布拒绝域检验对象检验统计量[U] > u(α/2)X-Y均值(方差已知)U=N(0,1)U>u(α)V+%U tm+n=2(α/2)x-y均值(方差未知)tT:T >tm+n-2(a)tm+n-2SuVH+ITFm.n(a/2)或F Fm,n(α),(X1-μ2)2/F Fm-1,n-1(a/2)或F Fm-1,n-1(a)Fμ2和μ1和假定方差相等$7.2.40-1分布中未知参数p的假设检验产品验收时，需要检验不合格率是否小于某给定的一个数设(X1,...，Xn）是取自总体X的一个样本，该总体服从0-1分布，取1的概率为p.常见的假设有三种：(1) Ho:p=po →Hi:p≠po;(2) Ho : p= po Hi : p> po 或Ho : p≤po - Hi : p> po:(3)Ho:p=po→H:pUa/2,[T>ua]和[T<-ua]8

L 7.2.2 üoNbu ué uÚOþ ©Ù áý† þŠ(®) U = X¯−Y¯ r σ2 1 m + σ2 2 n N(0, 1)    |U| > u(α/2) U > u(α) U tm+n−2(α/2) T > tm+n−2(α) T Fm,n(α/2)½F Fm,n(α) F Fm−1,n−1(α/2)½F Fm−1,n−1(α) F µ2 Úµ1 σ2 2 Úσ 2 1 p0 ½H0 : p ≤ p0 ↔ H1 : p > p0; (3) H0 : p = p0 ↔ H1 : p uα/2 , {T > uα} Ú {T < −uα} 8

例7.2.7.某厂产品不合格率通常为0.5.厂方希望知道原料产地的改变是否对产品的质量发生显著的影响.现在随机地从原料产地改变后的产品中抽取了80个样品进行检验发现有5个是不合格品试问，在显著性水平0.1下，厂方由此可以得出什么结论？解：总体X～B(1,p)，其中p未知．在显著性水平Q=0.1下，产品质量无变化等价于p=0.05，故我们要检验Ho:p=0.05→Hi:p+0.05由于元=5/80=0.0625，因此检验统计量T的观测值-po1t=Vn-=0.513Vpo(1 - po)由α=0.10得临界值u0.05=1.645易见，±) +P(00 <) ≤α按显著性检验的定义，即得其检验为中：当≤6o≤时，接受Ho,不然就拒绝反过来讲,如果假设Ho:0=60→H1:0%检验的接受域有形式(a,..,an)≤0o≤(ri,...,rn)即有P(≤0 ≤0)≥1 - α9

~ 7.2.7. ,‚¬Ø܂ÇÏ~0.5. ‚F"/UC´Ä鬟 þu)wÍK. y3‘Å/l/UC￾¬¥Ä 80 ‡¬?1u, uyk5 ‡´Ø܂¬. Á¯, 3wÍ5Y²0.1 e, ‚ddŒ±џo(Ø? ): oNX ∼ B(1, p), Ù¥p ™. 3wÍ5Y²α = 0.1 e, ¬ŸþÃCzd up = 0.05, ·‚‡u H0 : p = 0.05 ↔ H1 : p 6= 0.05. dux¯ = 5/80 = 0.0625, ÏduÚOþT *ÿŠ t = √ np x¯ − p0 p0(1 − p0) = 0.513. dα = 0.10 .Šu0.05 = 1.645. ´„, |t| uƒ m'X"X1, · · · , XnloNF(x; θ) ¥Ä§ëêθ1−α&«m[θ, ¯θ],= P(θ ≤ θ ≤ ¯θ) = 1 − α ébH0 : θ = θ0 ↔ H1 : θ 6= θ0§3bƒe§k P(θ ≤ θ0 ≤ ¯θ) = 1 − α du P(θ0 > ¯θ) + P(θ0 < θ) ≤ α UwÍ5u½Â§=Ùu φ :  θ ≤ θ0 ≤ ¯θ ž§ÉH0,Ø,Òáý ‡L5ù,XJbH0 : θ = θ0 ↔ H1 : θ 6= θ0uɍk/ª θ(x1, · · · , xn) ≤ θ0 ≤ ¯θ(x1, · · · , xn) =k P(θ ≤ θ0 ≤ ¯θ) = 1 − α 9