《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 矩阵

矩阵第五章5.1矩阵的运算5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式5.3矩阵的分块

5.1 矩阵的运算 5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 5.3 矩阵的分块

“每个优秀的人，都有一段况默的时光。那段时光，是付出了很多务力。却得不到结果的日子，我们把它叫做扎根。任何人的成功都不是偶然，而是平日里含泪忍耐和咬牙坚特换来的必然结果好日子都是从苦日子里熬出来的，如果你看不到好日子，说明熬的还不够，坚持住了成功就在前面等你！阳光总在风雨后。花若盛开，彩蝶自来，君若精彩，天自安排。我们要做的就是努力前行”习近平

5.1矩阵的运算一、内容分布5.1.1 认识矩阵5.1.2矩阵的运算5.1.3矩阵的运算性质5.1.4方阵的多项式5.1.5矩阵的转置二、教学目的1.掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。2.掌握转置矩阵及其运算性质3.掌握方阵的幂、方阵的多项式。三、重点、难点矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质

一、内容分布 5.1.1 认识矩阵 5.1.2 矩阵的运算 5.1.3 矩阵的运算性质 5.1.4 方阵的多项式 5.1.5 矩阵的转置 二、教学目的 1. 掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算 法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。 2. 掌握转置矩阵及其运算性质。 3. 掌握方阵的幂、方阵的多项式。 三、重点、难点 矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及 其运算性质

5.1.1认识矩阵设F是数域，用F的元素α排成的m行n列的数表auaa12Ina2Cd2n1二aaam2mlmn称为F上mxn矩阵，简写：A=（α)mxn或A=(ai矩阵的产生有丰富的背景：线性方程组的系数矩阵..，矩阵的应用非常广泛

11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a              称为F上 mn 矩阵, 简写: ( ) ( ) A  a ij m  n 或 A  a ij 矩阵的产生有丰富的背景: 线性方程组的系数矩 阵., 矩阵的应用非常广泛. 设F是数域, 用F的元素 aij 排成的m行n列的数表

矩阵的运算5.1.2定义1(矩阵的数乘）给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为kaka/2kaalaa2inlnka21ka22kazndnndn)an2kA=k.kaka,kaaaOm2m2mlmlmmmn给定两个m×n矩阵定义2（矩阵的加法）brbbaia2dinIn02bb.Cna2Cnn...B=二...b66aaOm2mlmmm2mlmn

定义1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A 的乘积定义为 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 n n n n m m mn m m mn a a a ka ka ka a a a ka ka ka kA k a a a ka ka ka                               定义2（矩阵的加法） 给定两个 m n 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a              11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn b b b b b b B b b b             

A和B的和定义为:ai+bi+ba2 +b2CinIn+ban+b2a2i +b1a22OnnA+B=+b1+b+baaamlm2m2mlmnmm3（矩阵的乘法）给定m×n矩阵和一个n×l定义3一个矩阵Dbbala12aIn60Cnm2dnnB三6bbaaan2mlm2nlnlmn

A和B的和定义 为: 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b                        定义3（矩阵的乘法）给定 一个 mn 矩阵和一个 n  l 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a              11 12 1 21 22 2 1 2 l l n n nl b b b b b b B b b b             

A和B的乘积定义为nbbbaaaii2117D6baaa.221i221iAB=交bbbaCilil12mimimii=1i=li=l注意：相加的两个矩阵必须同型，结果也同型：相乘的两个矩阵须满足：前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，试问：结果的形状？

A和B的乘积定义为                          n i mi il n i mi i n i mi i n i i il n i i i n i i i n i i il n i i i n i i i a b a b a b a b a b a b a b a b a b AB 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1       注意: 相加的两个矩阵必须同型, 结果也同型; 相 乘的两个矩阵须满足:前一个矩阵的列数等于后 一个矩阵的行数, 试问: 结果的形状?

5.1.3 矩阵的运算性质（其中A，矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律B，C均为F上的矩阵，k，1为数域F中的数房注意：矩阵的乘法不满足交换律消去律：A±0.AB=AC=B=C也不满足满足：AB=BA的两个矩阵称为可交换的k(IA)= (kl)A(5)数乘结合律(6)数乘分配律k(A+ B)= kA+kBk+I)A= kA+IA乘法结合律(AB)C= A(BC)(7)k(AB)=(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC乘法对加法(8)分配律B+C)A=BA+CA

矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A， B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数） (1) 加法交换律 A B  B  A (2) 加法结合律 (AB)CA(BC) (3) 零矩阵 A0  A (4) 负矩阵 A(A) 0 (5) 数乘结合律 k(lA)  (kl)A (6) 数乘分配律 k(AB)  kAkB (k  l)A  kA lA (7) 乘法结合律 (AB)C  A(BC) k(AB)  (kA)B  A(kB) (8) 乘法对加法 分配律 A(BC)  AB AC (BC)A BACA 注意: 矩阵的乘法不满足交换律, 消去律: A  0, AB  AC  B  C 也不满足. 满足: AB  BA 的两个矩阵称为可交换的

-12 3132例1已知A=B=03-215-30 1|, 求3A-2B403例2 已知 A=B=8且A+2X=B,求X3例3 若A= 1 -21, B=求AB

例1 已知                    1 2 5 0 5 3 0 1 4 3 2 1 , 4 0 3 2 0 3 2 1 1 2 3 1 A B , 求3A2B. 例2 已知 , 3 2 1 6 5 1 9 7 7 5 2 4 , 2 4 6 8 1 5 7 9 3 1 2 0                 A  B 且 A 2X  B, 求X . 例3 若 , 2 1 0 1 2 3 , 3 1 1 2 2 3                 A  B 求AB

00010例5求与矩阵A=可交换的一切矩阵00例6证明：如果CA=AC,CB=BC,则有(A+B)C=C(A+B)(AB)C=C(AB)

例5 求与矩阵        0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A 可交换的一切矩阵. 例6 证明: 如果CAAC, CBBC, 则有 ( ) ( ). ( ) ( ); AB C C AB A B C C A B    