《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第1章 函数、极限和连续 Ch1-2 极限（2/3）

第一章第二节极限(2)-函数的极限对 =f(x),自变量变化过程的六种形式(4)(1)x-→8x→xo(2)(5)x→+8x→xo(6)(3) x→-80x→xo本节内容：一、自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限一三、无穷小与无穷大olelolo0机动目录上页下页返回结束

第一章 二、自变量趋于有限值时函数的极限 第二节 自变量变化过程的六种形式: 本节内容 : 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限(2)-函数的极限 三、无穷小与无穷大

一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义2.设函数f(x)当x大于某一正数时有定义，若V>0,3X>0,当x>X时,有f(x)-AX几何解释：1Atsy=f(x)A8xX-X0直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线olelolololx机动目录上页下页返回结束

− X X A+  A− o x y y = f (x) A 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义2 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 X  0, 则称常数 时的极限, f x A x = → lim ( ) 几何解释: x  −X 或x  X A−  f (x)  A+ 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线   0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数

1例1.证明 lim= 0.1Lx->0 xV11x证:Cxxx0-00,欲使1x8x取X=1,当|x|>X时,就有-000 x注：=0为==的水平渐近线.xeooox机动目录上页下页返回结束

例1. 证明 0. 1 lim = x→ x 证: 0 1 − x x 1 = 取 , 1  X = 因此 注: 就有 故   0, 欲使 即 o x y x y 1 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

两种特殊情况：lim f(x)=A Vε>0,3X>0,当 x>X 时,有x→>+8Lf(x)-A0,X>0,当x+oX-X-oeolololx机动目录上页下页返回结束

x 1 1− x 1 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 两种特殊情况 : f x A x = →+ lim ( )   0, X  0, 当 时, 有 f (x) − A     0, X  0, 当 x  −X 时, 有 f (x) − A   几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 y = 0; 都有水平渐近线 y =1. 又如， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论:

二、自变量趋于有限值时函数的极限1.x→xo时函数极限的定义引例．测量正方形面积.（真值：边长为xo;面积为A）直接观测值确定直接观测值精度S：边长 xx-xo<S间接观测值/x2任给精度ε，要求<8面积x2XoAOeoD0x机动目录上页下页返回结束

二、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 面积为A ) 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度  , 要求 x − A   2 确定直接观测值精度  : x − x0   0 A x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.设函数f(x)在点xo的某去心邻域内有定义，若>0,>0,当 0xolim f(x)=AV>0,3S>0,当xU(xo,S)即x-→xo时,有|f(x)-A|<ε几何解释：这表明：t yyzf(x)A+c极限存在AA-函数局部有界7Xo-8xoXo+8xoeo00x机动自录上页下页返回结束

定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,   0,   0, 当 0  x − x0   时, 有 f (x) − A   则称常数 A 为函数 当 时的极限, f x A x x = → lim ( ) 0 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: x0 + A+ A− A x0 x y y = f (x) 极限存在 函数局部有界 这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：定义中对xo点不做任何要求，所研究的范围是附近的所有点，当x变化时所对应的函数值,f(x)x =xo β的变化情况，而不是xo本身例1. 证明lim C=C（C为常数）x-→xo证:f(x)-A|=|C-C|=0故>0,对任意的>0,当0<|x-xo<时,总有C-C=0<8lim C = C因此x-→xooleo0x机动自录上页下页返回结束

例1. 证明 证: f (x) − A 故   0, 对任意的   0, 当 时 , 因此 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 定义中对 x0 点不做任何要求, 所研究的范围是 x = x0 附近的所有点, 当 x 变化时所对应的函数值 f (x) 的变化情况, 而不是 x0 本身

例2.证明月 lim(2x -1) = 1x-→>1证:[f(x)- A|=|(2x-1)-1| =2|x-1>0,欲使|(x)-A,只要 |×-1]<%,=%，则当 0<|x-1< 时,必有取8=1f(x)- A|=(2x-1)-1|<8因此lim(2 x - 1) = 1x-→1oleoex机动目录上页下页返回结束

例2. 证明 证: = 2 x −1   0, 欲使 取 , 2   = 则当 0  x −1   时 , 必有 因此 只要 机动 目录 上页 下页 返回 结束

X例3.证明2 limx-→1 x -1证: |f(x)-A=|x+1-2|=|x-1x-1故>0,取=,当0|x-1|<时,必有r22<x-12+lim?因此x-1 x-110000x机动目录上页下页返回结束

例3. 证明 证: f (x) − A 故   0, 取  =  , 当 时 , 必有 −   − − 2 1 1 2 x x 因此 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.证明：当xo>0时limx=/xo.x→xox-xo证: |f(x)-A|=x-/xo|x+xo10,欲使|f(x)-A|xooleoex机动目录上页下页返回结束

例4. 证明: 当 证: 0 0 1 x x x  −   0, 欲使 且 而 可用 因此 只要 0 0 lim x x x x = → 时 故取 min , , 0 0  = x  x 则当 0  x − x0   时, 保证 . 必有 o x x0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束