《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第2章 导数与微分 Ch2-4 微分

第二章第四节函数的微分一、微分的概念二、微分运算法则三、 微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用olelollox机动目录上页下页返回结束

二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第四节 一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章

一、微分的概念引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由xo变到xo+△x，问此薄片面积改变了多少？设薄片边长为x，面积为A，则A=x2，当x在xo取得增量△x时,面积的增量为2(AXXoArAxMA=(xo + Ax)? - x?= 2xoAx + (Ax)?2AxXot1=xoxo△x→0时为关于Ax 的高阶无穷小线性主部故AA ~ 2xoAx称为函数在xo的微分O000X机动自录上页下页返回结束

一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义：若函数 y=f(x)在点xo 的增量可表示为y= f(xo +△x) - f(xo) = A△x +o(△x)（A为不依赖于Ax的常数）则称函数 =f(x)在点xo可微,而 A△x称为f(x)在点xo的微分，记作dy或df，即dy= A△x定理：函数=f(x）在点xo可微的充要条件是y=f(x)在点xo处可导,且A=f(xo）,即dy = f(xo)△xO0000x机动目录上页下页返回结束

的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 dy = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 dy = f (x )x 0 在点 可微, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理：函数V=f(x）在点xo可微的充要条件是y=f(x)在点xo处可导，且A=f'(xo)，即dy= f'(xo)△x证：“必要性”已知=(x)在点 xo可微,则△y= f(xo +△x) - f(xo) = A△x +o(△x)Ayo(△x)limlim (A +A△xAx->0 △x△x->0故y=f(x)在点 xo的可导,且(xo)=A00x机动目录上页下页返回结束

定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x   = +     →  → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理：函数V=f(x）在点xo可微的充要条件是y=f(x)在点xo处可导，且A=f'(xo)，即dy = f'(xo)Ax已知y=f(x)在点 xo的可导,则“充分性”Ay= f'(xo)limAx-→>0 △xAy=f'(xo)+α （ limα=0)Ax△x->0故 Ay= f(xo)△x+α△x = f'(xo)△x +o(△x)(f'(xo)±0时)线性主部即 dy= f'(xo)△x000X机动自录上页下页返回结束

定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x =     → =  +    ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 =  →  x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f  x x + o x  线性主部 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: Ay= f(xo)△x +o(△x)dy = f'(xo)Ax当f'(xo)0时,AyDy= limlimAx-→>0 f(xo)△xAr-→>0 dy1Dylimf'(xo) Ax-→0 △x所以△x→O时与dy是等价无穷小，故当|△x很小时，有近似公式Ay~ dy00x机动目录上页下页返回结束

说明: f (x0 )  0 时 , dy = f (x )x 0 ( ) ( ) 0 y = f  x x + o x y y x d lim 0   → f x x y x    =  → ( ) lim 0 0 x y f x x    =  →0 0 lim ( ) 1 =1 所以 x → 0 时 y dy 很小时, 有近似公式 x y  dy 与 是等价无穷小, 当 故当 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分的几何意义切线纵坐标的增量dydy = f'(xo)△x = tanα ·△xy=f(x)V当△x很小时，△y～ dy当y=x时,记Ay= Ax =dxa0xo称△x为自变量的微分，记作dxXo +△x则有dy= f'(x)dxdy= f'(x)导数也叫作微商从而dxo0o00x机动目录上页下页返回结束

微分的几何意义 dy = f (x )x 0 x + x 0 x y o y = f (x)  0 x y = tan x dy 当 x 很小时, y  dy 当y = x 时， 则有 dy = f (x)dx 从而 ( ) d d f x x y =  导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 称x为 自变量的微分, 记作 dx y = x = dx 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如，=x3= 0.24dydx=3xx= 2x= 2dx = 0.02dx = 0.02又如，y=arctanx,1dx1+ x基本初等函数的微分公式（见P77)O10000x机动目录上页下页返回结束

例如, , 3 y = x dy d 0.02 2 = = x x 2 = 3x dx d 0.02 2 = = x x = 0.24 y = arctan x , dy x x d 1 1 2 + = 基本初等函数的微分公式 (见 P77) 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分运算法则二、 行设u(x)，v(x)均可微，则2. d(Cu) = Cdu(C 为常数)1. d(u ±v) = du±dyvdu - udy3. d(uv) = vdu + udy4. d(=)(v0)-v2L5.复合函数的微分y=f(u),u=p(x)分别可微则复合函数 y=f[(x)] 的微分为dudy = y dx = f'(u)p'(x)dxdy = f'(u)du一阶微分的形式不变性oeo00x机动自录上页下页返回结束

二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 = f (u)(x)dx du dy = f (u)du 一阶微分的形式不变性 5. 复合函数的微分 则复合函数 = du  dv = vdu + udv 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. y= ln(1+e*"),求 dy.1解: dyx1+e12X12X.2xdxC1-e22xedxX1O10000x机动目录上页下页返回结束

例1. 求 解: 2 1 1 d x e y + = d(1 ) 2 x + e  + = 2 1 1 x e d ( ) 2 x e x x e x x 2 d 1 1 2 2   + = x e xe x x d 1 2 2 2 + = 2 x e 机动 目录 上页 下页 返回 结束