《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第六章 向量空间

第6章向量空间6. 1向量空间的定义和例子6. 2子空间6. 3向量的线性相关6.4基和维数6.5坐标6.6向量空间的同构6.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间

6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间

数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这种研究中去发现各种结构之间的未知关系。---皮尔斯（S.Peirce,1838-1914）不懂几何者勿入内（指：柏拉图学园）--柏拉图（P1ato，约公元前427年一前347年）不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门匿名者一一理学院数学系

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向量空间（VectorSpaces）又称线性空间J（LinearSpaces)本章的特点及要求：向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性方程组解的结构向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统所谓代数系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法

向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）. 本章的特点及要求： Ø 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一， 是进一步学习数学必备的内容. Ø 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性方程组解 的结构. Ø 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统.所谓代数系 统，就是带有运算的集合. 通过本章的学习，初步熟悉用 公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法

S6.1向量空间的定义和例子1.引例一一一定义产生的背景2.向量空间的定义一一一一抽象出的数学本质3.进一步的例子一一一加深对定义的理解4.一些简单性质理学院数学系

理学院数学系 1.引例―――定义产生的背景. 2.向量空间的定义――――抽象出的数学本质. 3.进一步的例子―――加深对定义的理解. 4.一些简单性质

1.引例一一一定义产生的背景设F是一个数域，Fmxn表示上m×n矩阵的集合，例1回忆一下Fmx"上所能够施行的运算（教材P178）：只有加法和数乘两种，并且满足（教材P179)：1.A+B=B+A5.a(A+B)=aA+aB2. (A+B)+C= A+(B+C)6.(a+b)B=aB+bB3.0+A=A7. (ab)A=a(b)A4.A+(-A)=0还有一个显而易见的：8.1AA理学院数学系

理学院数学系 设 F 是一个数域， m n F  表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 m n F  上所能够施行的运算（教材P178）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P179)： 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C= A+( B+C) 3.O＋A=A 4.A+(-A)=O 5.a(A+B)= aA+aB 6.(a+b)B=a B +bB 7.(ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A＝A

例2设R是实数域，V，表示空间向量的集合.两个向量可以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个向量，加法和数乘满足同样的8条性质：按照解析几何的方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都有表达式，类似的问题许多，...，有必要总结它们的共性·涉及两个集合（其中一个集合是数域另一个是非空的抽象集合...）.Il.涉及两种运算（什么样的运算？）川I.满足8条运算性质理学院数学系

理学院数学系 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可以 作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个向 量，加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的方 法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都有 表达式，. 类似的问题许多，.，有必要总结它们的共性： I. 涉及两个集合（其中一个集合是数域， 另一个是非空的抽象集合.）. II. 涉及两种运算（什么样的运算？）. III. 满足8条运算性质

2.向量空间的定义定义1设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：闭合性：(c1）V上有（闭合的)加法运算，即：对Vα,βeV一定有α+βe(c2）F上的数对V上的向量有（闭合的)数乘运算，即：对任意F中数k和V中元素α，一定有：kα属于V.加法运算满足的性质：(a1)α+β=β+α,Vα,βeV(a2)(α+β)+y=α+(β+y),Vα,β,yeV(a3)V中存在一个向量，记作o，它满足：αo=o+αVαe给定V中每一个向量α，V中存在一个向量βB满足：(a4)这样的β称为α的负向量α+β=0理学院数学系

理学院数学系 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对 一定有 . (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数k 和V中元素 , 一定有： 属于V. (a1) (a2) (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足： . (a4) 给定V中每一个向量 , V中存在一个向量 满足： . 这样的 称为 的负向量. , V    V  k      ,, V (   )     (   ),,, V    , V        

数乘运算满足的性质：(ab)β=a(bβ), Va, beF,βeV(m1)a(α+β)=aα+aβ(m2)(m3)a+b)β=aβ+bβ(m4)lα=α,VαV理学院数学系

理学院数学系 (m1) (ab)  a(b )，a，b F, V. (m2) a(   )  a  a. (m3)（a  b)  a  b. (m4) 1 , V

3.进一步的例子一一加深定义的理解例3按照定义1，Fmxn是数域F上的向量空间，称为矩阵空间.Flxn,Fnxl统称为n元向量空间，统一用符号Fn表示(1)(2)R"是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常用的一类例4数域F上一元多项式集合F[风按照通常的加法与数乘构成F上的向量空间，称为多项式空间证明：根据多项式加法和数乘的定义，(c1) f(x)+g(x) E F[×], 任给f(x),g(x) E F[x](c2) aαf(x) E F[], 任给 αEF,f(x)EF[冈](a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x)EF[×)理学院数学茶

理学院数学系 按照定义1， m n F  是数域F上的向量空间，称为矩阵 空间. （1） 1 1 , n n F F   统称为ｎ元向量空间，统一用符号 n F 表示. （2） n R 是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常 用的一类. . 数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘 构成F上的向量空间，称为多项式空间. 根据多项式加法和数乘的定义， (c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x)F[x]. (c2) af(x) F[x]，任给 aF，f(x)F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x)F[x]

(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ]任给f(x),g(x),h(x) E F[β](a3）0向量就是零多项式(a4)f(x)的负向量为（-f(x)）.(m1) (ab) f(x)=a(bf(x)(m2) a[f(x)+g(x)]=af(x)+ ag(x)(m3) (a+b) f(x)=af(x)+ b f(x)(m4) 1×xf(x)= f(x)注1：刚开始，步骤要完整理学院数学系

理学院数学系 (a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ], 任给f(x),g(x),h(x)F[x]. (a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (m1) (ab) f(x)= a(bf(x)). (m2) a[f(x)+g(x)]= af(x)+ ag(x). (m3) (a  b) f(x)= af(x)+ b f(x). (m4) 1f(x)= f(x). 注1：刚开始，步骤要完整