《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵 2-3 矩阵的初等变换

第3节矩阵的初等变换1.矩阵初等变换的定义2.初等矩阵的定义、性质3.初等矩阵在矩阵乘法中的作用4.求逆矩阵的初等行变换法

1. 矩阵初等变换的定义 2. 初等矩阵的定义、性质 3. 初等矩阵在矩阵乘法中的作用 4. 求逆矩阵的初等行变换法 第3节 矩阵的初等变换

3.初等矩阵在矩阵乘法中的作用设A则有2E.3ri>r2C用E12左乘A，相当于对A作一次相应的初等行变换

        = − 0 1 1 1 1 2 3 0 1 A 1 2 ~ r r         − 0 1 1 3 0 1 1 1 2          −         = 0 1 1 1 1 2 3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 (1, 2) E3 A         − = 0 1 1 3 0 1 1 1 2  设    则有       = − 0 1 1 1 1 2 3 0 1 A         = − 0 1 1 1 1 2 3 0 1 A 1 2 ~ r r         − 0 1 1 3 0 1 1 1 2  下页 r1r2 3. 初等矩阵在矩阵乘法中的作用 用 左乘A 相当于对A作一次相应的初等行变换 E A         = −             12 0 1 0 3 0 1 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 1 E12

银AE3(2)=20-定理1月用初等矩阵左（右）乘A，相当于对A作一次相应的初等行（列）变换下页

        = − 0 1 1 1 1 2 3 0 1 A 1 2 ~ r r         − 0 1 1 3 0 1 1 1 2          = − 0 1 1 1 1 2 3 0 1 A 1 2 3 ~ c + c         − 2 1 1 5 1 2 5 0 1                  = − 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 2 3 0 1 (31(2)) AE3         = − 2 1 1 5 1 2 5 0 1  下页 c1 +2c3 定理1 用初等矩阵左（右）乘A，相当于对A 作一次相应的初等行（列）变换 31 ( ) 3 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 1 0 0 1 1 2 0 1 AE         = −            

推论1若A是可逆矩阵，则A经过初等变换后所得矩阵仍为可逆矩阵定理2可逆矩阵总可以经若于次初等行变换后化成单位矩阵杭

下页 ❖定理2 可逆矩阵总可以经若干次初等行变 换后化成单位矩阵. ❖推论 1 若A是可逆矩阵，则A经过初等变换 后所得矩阵仍为可逆矩阵

4.求逆矩阵的初等行变换法设A为n阶可逆矩阵，显然A-1也可逆所以存在初等矩阵P，P2，…，Ps，使A-1-P,P2...Ps

4. 求逆矩阵的初等行变换法 设A为n阶可逆矩阵 显然A−1也可逆 所以存在初等矩阵P1  P2    Ps  使 A−1=P1P2  Ps

A--P,P2... P,A-1A-P,P...P,A,即及E=PP .. P,A,A--P,P2.P,E,注如果对A进行若干次初等行变换化为E则对E进行同样的初等行变换将化为A-1下页

A−1A=P1P2  Ps A 即 E= P1P2  Ps A 及 A−1=P1P2 Ps E 注 如果对A进行若干次初等行变换化为E 则对E进行同样的初等行变换将化为A−1  下页 A−1=P1P2  Ps

-211-17例1设A-32-2,求A-1.A--42-21-7311解0888-（8388(A, E)-—(898-(8-83-（888339）-（888339下页

例1 设  求A−1  解 (A E)= 下页        1 1 −1 1 0 0  3 2 −2 0 1 0 −2 1 0 0 0 1        1 1 −1 1 0 0  0 −1 1 −3 1 0 0 0 1 −7 3 1        1 1 0 −6 3 1  0 −1 0 4 −2 −1 0 0 1 −7 3 1 1 1 −1 1 0 0 0 −1 1 −3 1 0 0 3 −2 2 0 1                1 0 0 −2 1 0  0 −1 0 4 −2 −1 0 0 1 −7 3 1        1 0 0 −2 1 0  0 1 0 −4 2 1 0 0 1 −7 3 1           − − − = 2 1 0 3 2 2 1 1 1 A           − = 7 3 1 - 4 2 1 - 2 1 0 -1 A

2-2,求A-13例2设A一5-2133A1227-16

例2 设 A A−   −   = −       − 求 1 1 2 1 3 4 2 , 5 4 1 A −   −   = − −       − −   1 2 1 0 13 1 3 2 2 16 7 1

20212030例3求解矩阵方程AX-A+X其中A11解把所给方程变形为(A-E)X-A.因为26-210012O20302320>0011丰一2302(A-E,A-2-1-3LO0101-1012-26二2-3所以0X-(A-E)-A-2-1-3思考：如何求解矩阵方程XA=B？其中A可逆结束

例3 求解矩阵方程AX=A+X 其中          = 0 1 0 2 1 3 2 2 0 A 解 把所给方程变形为(A−E)X=A         − − = 0 1 1 0 1 0 2 0 3 2 1 3 1 2 0 2 2 0 (A E, A) 因为         − − − − 0 0 1 2 1 3 0 1 0 2 0 3 1 0 0 2 2 6 ~          − − − − = − = − 2 1 3 2 0 3 2 2 6 ( ) 所以 X A E 1 A          − − − − = − = − 2 1 3 2 0 3 2 2 6 ( ) X A E 1 A  思考 如何求解矩阵方程XA=B? 其中A可逆 结束 >>>

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