《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 向量 3-3 极大线性无关组

第3节极大线性无关组实际反映上一节讨论向量组的线性相关性，名向量组中各向量“是否关联”和“是否独立”，那么对于给定的线性相关的向量组，其中线性无关的部分组最多可包含多少个向量？怎样求出这样的部分组呢？

第3节 极大线性无关组 向量组中各向量“是否关联” 和 “是否独立” , 那 上一节讨论向量组的线性相关性, 实际反映 么对于给定的线性相关的向量组, 其中线性无关 的部分组最多可包含多少个向量？怎样求出这样的 部分组呢？

S 3.3极大线性无关组1.向量组间的关系2.极大线性无关组的定义3.极大线性无关组的性质4.向量组的秩5.向量组的秩与矩阵的秩

1.向量组间的关系 2.极大线性无关组的定义 3.极大线性无关组的性质 4.向量组的秩 5.向量组的秩与矩阵的秩 §3.3 极大线性无关组

1.向量组间的关系定义1设有两向量组A:a,a2,..",,;B:βi,β2,...,β若向量组A中的每一个向量都能由向量组B线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价

1. 向量组间的关系 定义1 设有两向量组 1 2 :α ,α , ,α ; A s 1 2 B :β ,β , ,βt 若向量组A中的每一个向量都能由向量组B线性 表示, 则称向量组A能由向量组B线性表示. 若向量组A与向量组B能互相线性表示, 则称这 两个 向量组等价

1例如，0A:α=2,α,-32(3)(2)-B:β=4,β=2,β,-2（8）（5向量组A与向量组B等价

例如,                     1 2 1 1 :α = 2 , α = 0 3 2 A                               1 2 3 3 2 0 :β = 4 , β = 2 , β = 2 8 5 1 B 向量组A与向量组B等价

向量组之间的等价关系具有下列性质：（1）反身性：向量组A与自身等价：2对称性：如果向量组A与向量组B等价，则向量组B与向量组A也等价；3）传递性：如果向量组A与向量组B等价，而向量组B文与向量组C等价，则向量组A与向量组C等价

向量组之间的等价关系具有下列性质： (1)反身性: 向量组A与自身等价; (2)对称性: 如果向量组A与向量组B等价, 则向量 组B与向量组A也等价； (3)传递性: 如果向量组A与向量组B等价, 而向量 组B又与向量组C等价, 则向量组A与向量组C等价

定理1设有两向量组心A:α,α2,.,asB:β.β...β若向量组A可由向量组B线性表示，且s>t，则向量组A线性相关例如，11（2)(3)0A:α,=2,α,=0B:β,=4,β,=2,β,=2(2)（3)（8（5）酒向量组B线性相关

定理1 设有两向量组 1 2 :α ,α , ,α ; A S 1 2 B :β ,β , ,βt 若向量组A可由向量组B线性表示, 且s > t , 则向量组 A线性相关. 例如, 向量组B线性相关.                     1 2 1 1 :α = 2 , α = 0 3 2 A                               1 2 3 3 2 0 :β = 4 , β = 2 , β = 2 8 5 1 B

推论1设有两向量组A:a,az,..,as;B:β.β....β若向量组A线性无关，且A可由向量组B线性表示则s≤t.两个等价的线性无关的向量组含有推论2相同个数的向量

推论1 设有两向量组 1 2 :α ,α , ,α ; A S 1 2 B :β ,β , ,βt 若向量组A线性无关, 且A可由向量组B线性表示, 两个等价的线性无关的向量组含有 相同个数的向量. 推论2 则 s ≤ t

2.极大线性无关组的定义现在考察向量组A：2224251-1聘1a,a44033243选取部分组α，α线性无关；而g=+2=202-该向量组中任意3个向量都线性相关部分组α，，称为A的极大线性无关组

2. 极大线性无关组的定义 现在考察向量组A：                                                 1 2 3 4 2 2 4 2 -1 -1 -2 -1 α = , α = , α = ,α = 2 3 5 4 3 1 4 -1 该向量组中任意3个向量都线性相关. α1 2 选取部分组 ,α 线性无关; 而 α1 2 部分组 ,α 称为A的极大线性无关组.    3 1 2 = + ，  - 4 2 1 = 2

定义2设有向量组A:α，α2，α，若在向量组A中能选出个向量α，α，，α，满足(1)α，α，…,α,线性无关；(2)对任意的a,≤≤s都有α,,α,α，…α线性相关则称向量组αα…α是向量组A的一个极大线性无关向量组（简称极大无关组）

定义2 设有向量组 A: α1 2 ,α , ,αs , 若在向量组A 中能选出r个向量 1 2 α ,α ,α , ,α r j i i i 1 2 α ,α , ,α r i i i , 满足 (1) 线性无关; (2) 对任意的 αj (1  j s) 都有 1 2 α ,α , ,α r i i i 线性相关. 则称向量组 αi i i 1 2 ,α , ,α r 是向量组A的一个极大 线性无关向量组(简称极大无关组)

注意1）只含有零向量的向量组没有极大无关组：（2）一个非零向量组必有极大无关组：（3）一个线性无关的向量组的极大无关组就是向量组本身（4）定义的条件恰好说明了极大无关组的“无关性”和“极大性

注意 (1) 只含有零向量的向量组没有极大无关组; (2) 一个非零向量组必有极大无关组; (3)一个线性无关的向量组的极大无关组就是向量 组本身. (4)定义的条件恰好说明了极大无关组的“无关性” 和“极大性