《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第8章 欧氏空间

第八章欧氏空间8.1向量的内积正交基8.28.3正交变换8.4对称变换和对称矩阵课外学习9：实现正交化过程的新方法

第八章 欧氏空间 8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵 课外学习9：实现正交化过程的新方法

在几何学中（编者按：在数学中），没有专门为国王设置的捷径--欧几里德（Euc1id，约前325-约前265）

在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国 王设置的捷径。 -欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265)

8.1向量的内积一、内容分布8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质二、教学目的：1.准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两同量正交、两向量的距离2．掌握常见的几种欧氏空间：会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量与Ⅱ的内积，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间3.掌握,n>≤及其它不等式，并会用它来证明另一些不等式三、重点难点：1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念：≤的灵活运用2.不等式

8.1 向量的内积 一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的： 1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的 长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ 与η的内积，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间． 3．掌握   ,   2 及其它不等式，并会用它来证明另 三、重点难点： 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念; 2.不等式   ,   2 的灵活运用. 一些不等式

8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义定义1设V是实数域R上一个向量空间.如果对于v中任意一对向量≤,n有一个确定的记作的实数与它们对应，并且下列条件被满足：1) =2)=+3)=a4)当 ≤0时,>0这里，n，是V的任意向量，a是任意实数，那么叫做向量与n的内积，而V叫做对于这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）

8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 1)        , , 2) ,   3)   aa ,   4) 当   0 时,    0, 定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于 V中任意一对向量 有一个确定的记作 ,  的实数与它们对应，并且下列条件被满足： , 这里 ,  是V的任意向量，a是任意实数， ,  那么 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）. 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于

例1在R"里,对于任意两个向量E =(xi, X.... xn), n = (yi, y2....yn)规定 =xiJi +X22 +...+Xnyn容易验证，关于内积的公理被满足，因而Rn对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间例2在 R"里,对于任意向量E =(xi, X2... Xn), n =(1, y.... yn)规定 =Xiy +X22 +...+Xnyn不难验证，R"也作成一个欧氏空间

n R ,( ,., ), 21 n   xxx ),.,( 21 n   yyy nn  ,  . yxyxyx  2211 例1 在 规定 里,对于任意两个向量 容易验证,关于内积的公理被满足,因而 n R 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. n R ,( ,., ), 21 n   xxx ),.,( 21 n   yyy nn  ,  . yxyxyx  2211 例2 在 规定 里,对于任意向量 不难验证, 也作成一个欧氏空间. n R

例3令C[a.bl是定义在[a,bl上一切连续实函数所成的向量空间，f(x),g(x)EC[a,b]我们规定 = (f(x)g(x)dx.根据定积分的基本性质可知，内积的公理1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间，例4 令H是一切平方和收敛的实数列 =(Xi,X2..., Xn)><+8Xnn=所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法：

例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数 ( ),  baCxgxf ],[)( 我们规定 所成的向量空间, xgxfgf dx.)()(, b a   根据定积分的基本性质可知,内积的公理 1)-4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间. 例4 令H是一切平方和收敛的实数列 ,( ,., ), 21 n   xxx     1 2 n xn 所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标 量与向量的乘法:

设 =(xi,X2...),n=(yi,y2,...),a R规定 =+n=(xi + yi,x2 +y2...); a==(axi,ax2..)的内积由公式向量 =(xi,X2,..),n=(y1,y2,..)8Z=Xnynn=l给出，那么H是一个欧氏空间为向量空间练习1 α=(αi,α,),β=(bi,b,)中任意两向量,证明：R2 对(α,β)= ma,b, +na,b,作成欧氏空间的充分必要条件是m>0,n>0

设 ,(,.),( ), .   21   21  Rayyxx ,.);,( 2211   yxyx ,( ,.) 21 规定 a  axax      1 , n nn  yx 向量 的内积由公式 给出，那么H是一个欧氏空间. ),(,.),(   21   yyxx 21  ,( ), ),(   21   bbaa 21 2 R 2211 , ma b  na b 练习1 为向量空间 中任意两向量,证明: 对 作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0

8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角定义2设是欧氏空间的一个向量，非负实数的算术根叫做的长度，向量的长度用符号1表示： [=定理8.1.1在一个欧氏空间单，对于任意向量5,n.有不等式(6)≤当且仅当与n线性相关时，上式才取等号

8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角 ,  ,   ,  定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数 的算术根 叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号 表示： 定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量  ., 有不等式   ,   2 (6) 当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号

定义3设与是欧氏空间的两个非零向量与n的夹角e由以下公式定义：cosO=≤5,n>[51-1nl例5令R"是例1 中的欧氏空间.Rn中向量的长度是E=(Xi,X2...Xn)[5=/=/x+x2+...+x由长度的定义，对于欧氏空间中任意向量和任意实数a,有

定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义：       , cos 例5 令 n R 是例1 中的欧氏空间. 中向量 ),.,( 21 n   xxx 的长度是 2 2 2 2 1 , . n   xxx 由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和 任意实数a,有 n R

===注：一个实数a与一个向量的乘积的长度等于a的绝对值与的长度的乘积例 6考虑例1的欧式空间由不等式（6）推出，对于任意实数ai,a2,an,bi,bz,",bn有不等式(7)(ab +..+anbn)? ≤(ai +...+an)'(b, +...+b,)?（7）式称为柯西（Cauchy）不等式

注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积. 例 6 考虑例 1 的欧式空间 n 由不等式 R (6)推出,对于任意实数 n bbbaaa n , 21  21  有不等式 2 1 2 1 2 11 ( () () )  nn  n  bbaababa n (7) (7)式称为柯西(Cauchy)不等式. ,  aaaa ,  a  2