华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.9.2）复合而成

今定理3 设函数y=g(x)由函数y=()与函数=g(x)复合而成, U(x)x0 ll→ll 简要证明要证∨E>0,36>0,当0(x-x,所以 vE>0,3m0,当-ok0,当0-x<δ时,有(x)6k<m,从而有 8(x)]-f(a0)kE 上页 下页

上页 返回 下页 简要证明 因为f(u)在u0连续 g(x)→u0 (x→x0 )所以  0 0 当|u−u0 | 时 有|f(u)−f(u0 )| ; 对上述0  0 当0|x−x0 | 时 有|g(x)−u0 | 从而有 |f[g(x)]−f(u0 )|  要证 0  0 当0|x−x0 | 时 有 |f[g(x)]−f(u0 )|  ❖定理3 设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成 Df g U x   ( 0 )  若 0 lim ) 0 g x u x x ( = →  而函数 y=f(u)在 0 u 连续 则 lim [ )] lim ( ) ( )0 0 0 f g x f u f u x x u u ( = = → →  因为f(u)在u0连续 g(x)→u0 (x→x0 )所以  0 0 当|u−u0 | 时 有|f(u)−f(u0 )| ; 对上述0  0 当0|x−x0 | 时 有|g(x)−u0 | 从而有 |f[g(x)]−f(u0 )| 