华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.4.1）定理1（无穷小与函数极限的关系）

今定理1(无穷小与函数极限的关系) 在自变量的同一变化过程x>x(或x→>∞)中,函数(x) 具有极限4的充分必要条件是(x)=4+a,其中a是无穷小. 简要证明令=(x)A4,则f(x)-A|=|al. 如果E>0,彐8>0,使当04x-x0,36>0,使当0x0时的极限,则a是 xx0时的无穷小;如果a是x>x0时的无穷小,则A是(x)当 x->x时的极限 上页 下页

上页 返回 下页 在自变量的同一变化过程x→x0 (或x→)中 函数f(x) 具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+a 其中a是无穷小 ❖定理1(无穷小与函数极限的关系) 如果 0  d 0 使当0|x-x0 |d 时 有|f(x)-A|  就有|a|  反之如果 0 d 0 使当0|x-x0 |d 时 有|a|  就有|f(x)-A|  这就证明了如果A是f(x)当x→x0时的极限 则a是 x→x0时的无穷小 如果a是x→x0时的无穷小 则A是f(x)当 x→x0时的极限 简要证明 令a=f(x)-A 则|f(x)-A|=|a|