华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第一章 习题课

习题课 习题1-2中的部分习题 习题1-3中的部分习题 自

习题课 首页 上页 返回 下页 结束 铃 习题1-2中的部分习题 习题1-3中的部分习题

习题1-2中的部分习题: COS 2.设数列x}的一般项xn=-2.问lmxn=? n→)00 求出N,使当n>N时,xn与其极限之差的绝对值小于正数E, 当E=0.001时,求出数N 4. lim u=a,证明lim|ln=lal.并举例说明:如果数列 n→>00 x}有极限,但数列{xn}未必有极限 6.对于数列{xn}若x2→>a(k>∞),x2k+1→>a(k>∞) 证明:xna(m-∞) 首页上页返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 习题1-2中的部分习题: 6. 对于数列{x n }若x2k→a (k→), x2k+1→a (k→), 证明: x n →a (n→). 4. un a n = → lim , 证明 lim |u | |a| n n = → . 并举例说明: 如果数列 {|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 2. 设数列{xn}的一般项 n n xn 2 cos  = . 问 n n x → lim =? 求出N, 使当n>N时, xn与其极限之差的绝对值小于正数 , 当 =0.001时, 求出数N

1丌 cOS- 2.设数列x}的一般项x=2.问lmxn= n→)00 求出N,使当nN时,x,与其极限之差的绝对值小于正数E, 当E=0.001时,求出数N 解 lim xn =0 n→)0 1-0人cos2? ∨E>0,要使xn0N,有x1-0<E 当E=0.001时,N=[]=1000 上页返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2. 设数列{xn}的一般项 n n xn 2 cos  = . 问 n n x → lim =? 求出N, 使当n>N时, xn与其极限之差的绝对值小于正数 , 当 =0.001时, 求出数N. 解 lim =0 → n n x . n n n xn 1 | 2 |cos | −0|=     >0, 要使|x n −0|N, 有|xn −0|< . 当  =0.001 时, ] 1 [  N= =1000. 解 n n n xn 1 | 2 |cos | −0|=    当  =0.001 时, ] 1 [  N= =1000

4. lim u=a,证明 lim=al.并举例说明:如果数列 n→)0 n→00 xn}有极限,但数列{xn}未必有极限 证明因为n→a(m>∞),所以∨E>0,NeN,当n>N时,有 ur-aks 从而 n}-l‖≤ln-ala(n->∞) 数列{xn}有极限不能保证数列{xn}也有极限 例如lm(-1)y}=1,但lm(-1)y不存在 首页上页返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 4. un a n = → lim , 证明 lim |u | |a| n n = → . 并举例说明: 如果数列 {|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 证明 因为un→a(n→), |un−a| 从而 这就证明了|un |→|a|(n→). ||un |−|a|| |un−a|  . 所以 >0, NN, 当n>N时, 有 数列{|xn |}有极限不能保证数列{xn }也有极限. 例如 lim |(−1) |=1 → n n , 但 n n lim (−1) → 不存在

6.对于数列{xn}若x2→>a(k>∞),x2+1→>a(k>∞) 证明:xn→>a(n->∞) 证明因为x2k→>a(k→>∞)2x41a(k->∞),所以E0, 日K1,当2k>2K时,有2-aE; K2,当2+1>2K2+1时,有x2k+aE 取N=max{2K1,2K2+1},只要n>N,就有 n -aa 因此xn→>a(n→>∞) 首页上页返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 6. 对于数列{x n }若x2k→a (k→), x2k+1→a (k→), 证明: x n →a (n→). K1 , 当2k>2K1时, 有|x2k−a|2K2+1时, 有|x2k+1−a|N, 就有 |xn−a|0

习题1-3中的部分习题: 3.当x→>2时,y=x2-y4.问a等于多少,使当x-28时 b-4k0.001 7.证明:若x→+∞及x→>∞时,函数(x)的极限都存在且都 等于A,则(x)→>A(x->∞) 8.根据极限的定义证明:函数fx)当x->x0时极限存在的 充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等 9.试给出x>∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以 证明 首页上页返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 习题1-3中的部分习题: 3. 当x→2时, y=x 2→4. 问等于多少, 使当|x−2|<时, |y−4|<0. 001？ 7. 证明: 若x→+及x→−时, 函数f(x)的极限都存在且都 等于A, 则f(x)→A(x→). 8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x→x0时极限存在的 充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 9. 试给出x→时函数极限的局部有界性的定理, 并加以 证明

3.当x-)2时,y=x2-4.问8等于多少,使当x-2ko时, b-4k0.001 解由于x->2,kx-2|>0,不妨设-2k1,即1<x<3 要使 x2-4=kx+2|x-2<5kx-2<0.001, 只要-2k0.0002 取0.0002,则当0<kx-2k时,就有24k<0.001 首页上页返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 3. 当x→2时, y=x 2→4. 问等于多少, 使当|x−2|<时, |y−4|<0. 001？ 取=0.0002, 则当0|x−2|时, 就有|x 2−4|0. 001. 解 由于x→2, |x−2|→0, 要使 |x 2−4|=|x+2||x−2| 5|x−2| 0. 001, 只要|x−2|0.0002. 不妨设|x−2|1, 即1x3

7.证明:若x→>+∞及x>-∞时,函数fx)的极限都存在且都 等于A,则f x)->A(x→>∞). 证明因为(x)→>4(x-→)+∞),(x)-4(x→>-∞),所以VE>0, 丑X1>0,使当x0,使当x>X2时,有x)=4kE 取Xmax{X12X2},则当体X时,有 (x)-4A(x->∞) 首页上页返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 7. 证明: 若x→+及x→−时, 函数f(x)的极限都存在且都 等于A, 则f(x)→A(x→). X10, 使当x−X1时, 有|f(x)−A| ; X20, 使当xX2时, 有|f(x)−A| . 取X=max{X1 , X2 }, 则当|x|X时, 有 |f(x)−A| , 即f(x)→A(x→). 证明 因为f(x)→A(x→+) f(x)→A(x→−), 所以 >0

8.根据极限的定义证明:函数x)当x→>x0时极限存在的 充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等 必要性证明设fx)->4(x->x),则∨E0,80, 使当0<x-x时,有 f(x)-Ak8 因此当x-8xx0和xxx+时都有 儿(x)-AKE 这说明f(x)当xx时左右极限都存在并且都等于A 首页上页返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x→x0时极限存在的 充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 使当00, 0

8.根据极限的定义证明:函数x)当x→>x0时极限存在的 充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等 充分性证明设fx0)=f(x+)=A,则vE>0, 彐81>0,使当x-61x0,使当xxA(x->x0) 首页上页返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x→x0时极限存在的 充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 充分性证明 1>0, 使当x0−10, 使当x00