华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十章（10.2）对坐标的曲线积分

§102对坐标的曲线积分 、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系 自

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 §10.2 对坐标的曲线积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、两类曲线积分之间的联系

、对坐标的曲线积分的概念与性质 今变力沿曲线所作的功 质点在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)的作用下从点A沿光 滑曲线弧L移动到点B,求变力F(x,y)所作的功> 求功的过程 把L分成n个小弧段:L1,L2,…,Ln 变力在L上所作的功的精确值为: F(Si,ni Ln B lim EIP(S, ni)+ e(5;, n)Ayi L △1 →>0 L 其中λ是各小弧段长度的最大值 △x△s; 小: F在L上所作的功环F(5,m)AsO 上页 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 ❖变力沿曲线所作的功 质点在变力F(x y)=P(x y)i+Q(x y)j的作用下从点A沿光 滑曲线弧L移动到点B 求变力F(x y)所作的功 下页 P(i  i )xi+Q(i  i )yi [ ]  n i=1  提示 •把L分成n个小弧段 L1  L2     Ln  求功的过程 •变力在Li上所作的功的近似值为 0 lim → •变力在L上所作的功的近似值为 上所作的功的精确值为 其中是各小弧段长度的最大值 F在Li上所作的功WiF(i  i )si  >>>光滑曲线

今对坐标的曲线积分 设函数Px,y)、Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上有界 把L分成n个有向小弧段L1,L2…,Ln其中L是从(x1,y21)到 (x,y)的小弧段,记Ax=xx11,4=yy21 在小弧段L上任取一点(E,m) 令λ为各小弧段长度的最大值 如果板限Im∑Pn)Ax总存在,则称此板限为函数P(xy) 在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,记作!P(xp 如果极限m∑O,)总存在,则称此极限为函数Q(x,y) →>0 在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分,记作Qxy 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对坐标的曲线积分 下页 •设函数P(x y)、Q(x y)在有向光滑曲线弧L上有界 •把L分成n个有向小弧段L1  L2     Ln  其中Li是从(xi−1  yi−1 )到 (xi  yi )的小弧段 记xi=xi−xi−1  yi=yi−yi−1  •在小弧段Li上任取一点(i  ) •令为各小弧段长度的最大值 •如果极限 总存在 则称此极限为函数P(x y) 在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分记作  i i i n i P x → = lim  ( , ) 1 0    L P(x, y)dx L Q(x, y)dy i i i n i Q y → = lim  ( , ) 1 0    •如果极限 总存在 则称此极限为函数Q(x y) 在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分记作 

今对坐标的曲线积分 「P(xy)x=mn∑P,n)入x L, O(, y)dy=lim 2O(S;, m, Ay 说明: 在积分中Px,y)、Q(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段 °对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对坐标的曲线积分 i i i n i L P x y dx = P x → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     i i i n i L Q x y dy = Q y → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     •在积分中P(x y)、Q(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段 说明 •对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分

今对坐标的曲线积分 「P(xy)x=mn∑P,n) 1-) (xy)b=m∑Q,n)△y 说明: 设为空间内一条光滑有向曲线弧,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z) R(x,y,z)在上有定义我们定义 P(,y, z)dx=lim PSi,i Si)Ax ->0 ∫g(xy=2)y=m∑5,=A 「Kxy)=mn∑R55)△7 首页页返回下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 i i i i n i L Q x y z dy = Q y → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      ❖对坐标的曲线积分 i i i n i L P x y dx = P x → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     i i i n i L Q x y dy = Q y → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     说明 •设为空间内一条光滑有向曲线弧 函数P(x y z)、Q(x y z)、 R(x y z)在上有定义我们定义 i i i i n i L P x y z dx = P x → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      i i i i n i L R x y z dz = R z → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      下页

◆对坐标的曲线积分的简写形式 在应用上经常出现的是 「Pxyk+xy), 上式可记为 「Pxyk+xyb,或F(xyb 其中F(x,y)=P(x,y)计+Q(x,y),dr=dxi+y 类似地,有 其中Pa+Qhy+R=Px+hy+R=[Adr, v,zi+O(,v, z+r(x, y, z)k, dr=dxi+dy +dzk 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对坐标的曲线积分的简写形式 在应用上经常出现的是   + L L P(x, y)dx Q(x, y)dy  上式可记为 P x y dx Q x y dy L ( , ) + ( , )   或  L F(x, y) dr  其中F(x y)=P(x y)i+Q(x y)j dr=dxi+dyj 类似地 有 其中A=P(x y z)i+Q(x y z)j+R(x y z)k dr=dxi+dyj+dzk Pdx Qdy Rdz       + + = Pdx+Qdy+Rdz   A dr L =    下页

今对坐标的曲线积分的性质 性质1设a、B为常数,则 C, laF(x, 3)+BF(x, D)ldr=aL, Fi(x, D) dr+B)E(x,D)dr 性质2若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2 「Fxyb=F(xy)b+F(xy)b 性质3设L是有向光滑曲线弧,L是L的反向曲线弧,则 F(x,y)dr=- F(x, y). dr 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对坐标的曲线积分的性质 •性质1设、为常数 则    +  =  +  L L L [ F(x, y) F (x, y)] dr F(x, y) dr F (x, y) dr  1  2  1  2  •性质2若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2  •性质3设L是有向光滑曲线弧 L −是L的反向曲线弧 则    =−  − L L F(x, y) dr F(x, y) dr      =  +  1 2 ( , ) ( , ) ( , ) L L L 则 F x y dr F x y dr F x y dr  首页

二、对坐标的曲线积分的计算 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x=(),y=v(t,且L的起 点和终点所对应的参数分别为a和B 质点在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y的作用下沿光滑有向 曲线弧L所作的功为 W=L P(, y)dx +O(x, y)dy 另一方面,在L上任取一小段有向弧,其起点和终点对应 的参数分别为和+dt,得功元素 dW=P[(1),(O)]dr 示:F[(1),(OD)]=(P[(),v切),Q[a(1),切)]), dr=(dx, dy=o' (tat, y(t)dt) 画首贝贝这回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 二、对坐标的曲线积分的计算 下页 质点在变力F(x y)=P(x y)i+Q(x y)j的作用下沿光滑有向 曲线弧L所作的功为 另一方面 在L上任取一小段有向弧 其起点和终点对应 的参数分别为t和t+dt得功元素 =F[(t) (t)]dr dr=(dx dy)=((t)dt(t)dt) dW W P x y dx Q x y dy L = ( , ) + ( , )  W P x y dx Q x y dy  L = ( , ) + ( , )   设光滑有向曲线弧L的参数方程为x=(t) y=(t)且L的起 点和终点所对应的参数分别为和 >>>图形 F[(t) (t)]=(P[(t)(t)] Q[(t) (t)])

二、对坐标的曲线积分的计算 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x=(),y=v(t,且L的起 点和终点所对应的参数分别为a和B 质点在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y的作用下沿光滑有向 曲线弧L所作的功为 W=L P(, y)dx +O(x, y)dy 另一方面,在L上任取一小段有向弧,其起点和终点对应 的参数分别为和+dt,得功元素 dW=P[(1),(O)]dr Plot), yolo (tdt+eloo, holy(tdt 于是W=[(Pto)l(+(OWoy(O)l 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、对坐标的曲线积分的计算 下页 质点在变力F(x y)=P(x y)i+Q(x y)j的作用下沿光滑有向 曲线弧L所作的功为 另一方面 在L上任取一小段有向弧 其起点和终点对应 的参数分别为t和t+dt得功元素 =F[(t) (t)]dr =P[(t) (t)](t)dt+Q[(t) (t)](t)dt dW 于是  =  +    W {P[(t),(t)] (t) Q[(t),(t)] (t)}dt  W P x y dx Q x y dy L = ( , ) + ( , )  W P x y dx Q x y dy  L = ( , ) + ( , )   设光滑有向曲线弧L的参数方程为x=(t) y=(t)且L的起 点和终点所对应的参数分别为和

二、对坐标的曲线积分的计算 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x=(),y=v(t,且L的起 点和终点所对应的参数分别为a和B 质点在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y的作用下沿光滑有向 曲线弧L所作的功为 W=L P(, y)dx+O(x, y)dy (PLot),yolo(t+elo(t), wtly(tjdt 这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、对坐标的曲线积分的计算 下页 质点在变力F(x y)=P(x y)i+Q(x y)j的作用下沿光滑有向 曲线弧L所作的功为 W P x y dx Q x y dy L = ( , ) + ( , )    =  +    W {P[(t),(t)] (t) Q[(t),(t)] (t)}dt  设光滑有向曲线弧L的参数方程为x=(t) y=(t)且L的起 点和终点所对应的参数分别为和 这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算