华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十一章（11.2.3）定理7莱布尼茨定理）

令定理7(莱布尼茨定理) 如果交错级数∑(-1)yln满足条件: (1)n≥ln+1(n=1,2,3,…);(2)imt n→)今÷0, 则级数收敛,且其和≤,其余项n的绝对值Mn+1 简要证明设级数的前n项部分和为snS2n可写成 32n=1-12H13~41)+∴·+(un12n 及S2=l1-(2-3)-(l4-u5)-…(2-21)2 可见数列{s2n}单调增加且有界(S2xS(n→>0 ,则也有s2n+1=S2n+121→>s(n->∞ 所以sn→>S(n->∞).因此级数是收敛的,且级数的和s<l1 因为Hn=un+1-ln+2+…也是收敛的交错级数,所以pnkn 上页 反回 下页

上页 返回 下页 简要证明 设级数的前n项部分和为sn . s2n =(u1-u2 )+(u3-u4 )+   +(u2n-1-u2n ), 及 s2n =u1-(u2-u3 )-(u4-u5 )-   -(u2n-2-u2n-1 )-u2n . 设s2n→s(n→), 则也有s2n+1=s2n+u2n+1→s(n→), 所以sn→s(n→). 因此级数是收敛的, 且级数的和s<u1 . 可见数列{s2n }单调增加且有界(s2n<u1 ), 所以数列{s2n }收敛. s2n可写成 因为|rn |=un+1-un+2+   也是收敛的交错级数, 所以|rn |un+1 . ❖定理7(莱布尼茨定理) 则级数收敛, 且其和su1 , 其余项rn的绝对值|rn |un+1 . 如果交错级数   = - - 1 1 ( 1) n n n u 满足条件 (1)unun+1(n=1, 2, 3,   ) (2) lim =0 → n n u