华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十二章（12.2）可分离变量的微分方程

§12.2可分离变量的微分方程 阶微分方程有时也写成如下对称形式 (r, y)dx+O(, y)dy 在这种方程中,变量x与y是对称的 如果一个一阶微分方程能写成 gl)dy=f(x)dx 的形式,那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 自

§12.2 可分离变量的微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dx+Q(x y)dy=0 在这种方程中 变量x与y是对称的 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx 的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃

今可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 gUy)ay=f(x)khx(或写成y=mx)(y) 的形式,那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 微分方程 分离变量是否可分离变量 v=2xy Idy=2xdx 3x2+5x-y=0 dy=(3x2+5x)dx (xl+y2)dx-xydy=0 是是质是 1++x2y(1+01+ y=10x+y 102=10k 是 X 不是 y X 上页 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 微分方程 分离变量 是否可分离变量 y=2xy 3x 2+5x−y=0 (x 2+y 2 )dx−xydy=0 y=1+x+y 2+xy2 y=10x+y 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (或写成y=(x)(y)) 的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程 下页 讨论 x y y x y  = + 是 不是 不是 是 是 是 y −1dy=2xdx dy=(3x 2+5x)dx y=(1+x)(1+y 2 ) 10−ydy=10xdx ———— ————

今可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 gUy)ay=f(x)khx(或写成y=mx)(y) 的形式,那么原方程就称为可分离变量的微分方程. ◆可分离变量的微分方程的解法 分离变量:将方程写成g()hy=x)dx的形式; 两端积分:了g)=/(x),设积分后得G()Fx)C 求显式解:求方程由G()=P(x)C所确定的隐函数 ((x)或x=(y) 方程Gυ)=F(x)+C,yφ(x)或x={(υ)都是方程的通解,其中 G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖可分离变量的微分方程的解法 •两端积分 方程G(y)=F(x)+C y=F(x)或x=Y(y)都是方程的通解 其中 G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解 •求显式解 求方程由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数 y=F(x)或x=Y(y) 下页 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (或写成y=(x)(y)) 的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程 •分离变量 将方程写成g(y)dy =f(x)dx的形式   g(y)dy= f (x)dx  设积分后得 G(y)=F(x)+C   g(y)dy= f (x)dx  设积分后得 G(y)=F(x)+C

例1求微分方程=2xy的通解 解这是一个可分离变量的微分方程 离变量得 dy=2xdx 两边积分得 dv=2xdx 注:加常数的另一方法: InlyFx2+CI InlyEx2+InC, 从而y=eCe2=Cer, 其中C=±e为任意常数. 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注 离变量得 解 这是一个可分离变量的微分方程 两边积分得 下页 例 1 求微分方程 x y dx dy =2 的通解 dy xdx y 2 1 =    dy= xdx y 2 1  即 ln|y|=x 2+C1  ln|y|=x 2+lnC 从而 2 x 从而 y =Ce  2 2 1 C x x y =e e =Ce  其中C =e C1 为任意常数 加常数的另一方法

例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知=0时铀的含量为M求在衰变过程中铀含量M随时间t 变化的规律. 解根据题意,得微分方程即nM=2+nC, aM(是正常数 也即M=Ce-at 由初始条件,得M=Ce=C, 初始条件为M=a=M0 所以铀含量M(1)随时间变化 将方程分离变量,得 的规律M=Me- ndt M 两边积分,得 dM M(a)dt 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 根据题意 得微分方程 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t=0时铀的含量为M0  求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t 变化的规律 初始条件为M| t=0=M0  M dt dM =− ( 是正常数) dt M dM =−  将方程分离变量 得 两边积分 得   = − dt M dM ( )  由初始条件 得M0=Ce0=C 所以铀含量M(t)随时间t变化 的规律M=M0 e − t  即 lnM=−t+lnC 也即 M=Ce− t  下页

例3设降落伞从跳伞塔 下落后,所受空气阻力与速度 成正比,并设降落伞离开跳伞 塔时速度为零.求降落伞下落 速度与时间的函数关系 解设降落伞下落速度为 k ν(t).根据题意得初值问题 g -mg-Kv t=0 =( 提示 降落伞所受外力为F=mg-k(k为比例系数 牛顿第二运动定律F=ma. 画首贝贝这回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 降落伞所受外力为F=mg−kv(k为比例系数) 牛顿第二运动定律F=ma 设降落伞下落速度为 v(t)     = = − = | 0 t 0 v mg k v dt dv m  解 下页 例3 设降落伞从跳伞塔 下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞 塔时速度为零 求降落伞下落 速度与时间的函数关系 根据题意得初值问题

例3设降落伞从跳伞塔两边积分得 下落后,所受空气阻力与速度 成正比,并设降落伞离开跳伞 mg-kv 塔时速度为零求降落伞下落即-1m(mg-km)=L+C, 速度与时间的函数关系 k 解设降落伞下落速度为或p=m8+Ce kC k (C ν(t).根据题意得初值问题 k 将初始条件=0代入上式得 -mg-Kv mg k =( 于是降落伞下落速度与时间 将方程分离变量得 的函数关系为 dy dt mg-kv m 129 e 首页上页返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 将方程分离变量得 m dt mg kv dv = −  两边积分得 将初始条件v| t=0=0代入上式得 k mg C=−  于是降落伞下落速度与时间 的函数关系为 结束     = = − = | 0 t 0 v mg k v dt dv m  例3 设降落伞从跳伞塔 下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞 塔时速度为零 求降落伞下落 速度与时间的函数关系   = − m dt mg kv dv  即 1 ln( ) 1 C m t mg k v k − − = +  或 t m k Ce k mg v − = + ( k e C −kC1 =− ) (1 ) t m k e k mg v − = −  设降落伞下落速度为 v(t) 解 根据题意得初值问题