华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十二章（12.7.1）弹簧

例1设有一个弹簧,上端|x()所满足的微分方程为 固定,下端挂一个质量为m的 x 物体.取x轴铅直向下,并取物 dl2 Cr-ar 体的平衡位置为坐标原点. 给物体一个初始速度vn≠0 后,物体在平衡位置附近作上 下振动.在振动过程中,物体 的位置x是的函数:x=x( 设弹簧的弹性系数为c,物 体受到的阻力的大小与运动 O中 速度成正比,比例系数为1 上页 返回

上页 返回 下页 例1 设有一个弹簧, 上端 固定, 下端挂一个质量为m的 物体. 取x轴铅直向下, 并取物 体的平衡位置为坐标原点. 给物体一个初始速度v00 后, 物体在平衡位置附近作上 下振动. 在振动过程中, 物体 的位置x是t的函数: x=x(t). 设弹簧的弹性系数为c, 物 体受到的阻力的大小与运动 速度成正比, 比例系数为m. dt dx cx dt d x m =− −m 2 2 . x(t)所满足的微分方程为 下页

例1设有一个弹簧,上端|x()所满足的微分方程为 固定,下端挂一个质量为m的 x 物体.取x轴铅直向下,并取物 dl2 cr,,,a 体的平衡位置为坐标原点.移项,并记2n2=,k2=C, 给物体一个初始速度vn≠0 则上式化为 后,物体在平衡位置附近作上 下振动.在振动过程中,物体 +2n+k2x=0 dt2 的位置x是的函数:x=x(0.这就是在有阻尼的情况下,物 设弹簧的弹性系数为c,物体自由振动的微分方程 体受到的阻力的大小与运动 速度成正比,比例系数为1 上页 返回

上页 返回 下页 2 2 0 2 2 + +k x= dt dx n dt d x . 给物体一个初始速度v00 后, 物体在平衡位置附近作上 下振动. 在振动过程中, 物体 的位置x是t的函数: x=x(t). 设弹簧的弹性系数为c, 物 体受到的阻力的大小与运动 速度成正比, 比例系数为m. dt dx cx dt d x m =− −m 2 2 . x(t)所满足的微分方程为 移项, 并记 m n m 2 = , m c k 2 = , 则上式化为 这就是在有阻尼的情况下, 物 体自由振动的微分方程. 下页 例1 设有一个弹簧, 上端 固定, 下端挂一个质量为m的 物体. 取x轴铅直向下, 并取物 体的平衡位置为坐标原点

例1设有一个弹簧,上端|x()所满足的微分方程为 固定,下端挂一个质量为m的 x 物体.取x轴铅直向下,并取物 dr+2n+k2x-0 体的平衡位置为坐标原点其中2n=,k2=C 给物体一个初始速度v≠0 如果振动物体还受到铅 后,物体在平衡位置附近作上直扰力F=H的作用,则有 下振动.在振动过程中,物体 x dx 的位置x是的函数:x=x( +2n-+klx=hsin pt 设弹簧的弹性系数为c,物 其中h H 体受到的阻力的大小与运动 速度成正比,比例系数为1 这就是强迫振动的微分方程 上页 下页

上页 返回 下页 k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 + + = , 2 2 0 2 2 + +k x= dt dx n dt d x , 给物体一个初始速度v00 后, 物体在平衡位置附近作上 下振动. 在振动过程中, 物体 的位置x是t的函数: x=x(t). 设弹簧的弹性系数为c, 物 体受到的阻力的大小与运动 速度成正比, 比例系数为m. x(t)所满足的微分方程为 其中 m n m 2 = , m c k 2 = . 如果振动物体还受到铅 直扰力F=Hsinpt的作用, 则有 其中 m H h= . 这就是强迫振动的微分方程. 返回 例1 设有一个弹簧, 上端 固定, 下端挂一个质量为m的 物体. 取x轴铅直向下, 并取物 体的平衡位置为坐标原点