华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第二章（2.2.4）反函数

如果函数x=U)在某区间内单调、可导且(y)≠O,那么 它的反函数y=f(x)在对应区间=b内也可导,并且 证明由于x=y)在内单调、可导(从而连续),所以x=y) 的反函数y=f(x)存在,且f(x)在内也单调、连续 任取x∈l,给x以增量x(△x≠0,x+△x∈1),由y/(x)的单调 性可知 △=f1(x+△x)-f(x)≠=0, 于 [f-(x)=lim 4y lim x→>0△x4y>0△xf() △ 上页 下页

上页 返回 下页 如果函数x=f(y)在某区间I y内单调、可导且f (y)0那么 它的反函数y=f −1 (x)在对应区间I x =f(I y )内也可导并且 ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x  −  =  证明 由于x=f(y)在I y内单调、可导(从而连续) 所以x=f(y) 的反函数y=f −1 (x)存在 且f −1 (x)在I x内也单调、连续 任取xI x  给x以增量x(x0 x+xI x ) 由y=f −1 (x)的单调 性可知 y=f −1 (x+x)−f −1 (x)0 于是 ( ) 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 1 f y y x x y f x x y  =   =    =  →  → −  ( ) 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 1 f y y x x y f x x y  =   =    =  →  → −  ( ) 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 1 f y y x x y f x x y  =   =    =  →  → − 