华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第二章（2.5）高阶导数

§2.5高阶导数 ☆高阶导数的定义 ◆几个初等函数的n阶导数 函数和差、积的n阶导数 自

❖高阶导数的定义 ❖几个初等函数的 n 阶导数 ❖函数和差、积的n 阶导数 §2.5 高阶导数 首页 上页 返回 下页 结束 铃

☆高阶导数的定义 我们把函数yx)的导数y=f(x)的导数(如果可导)叫 做函数y=f(x)的二阶导数,记作 y、f"x)减4y dx2 即y′=0),(x)(x)或2y=4(4 类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的 导数叫做四阶导数;一般地,(n-1)阶导数的导数叫做n阶 导数,分别记作 y",y(,…,y()或2,dy dx 2x4 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 我们把函数y=f(x)的导数y =f (x)的导数(如果可导)叫 做函数y=f(x)的二阶导数 记作 y 、f (x)或 2 2 dx d y  即 y =(y)  f (x)=[f (x)] 或 ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y =  类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数 三阶导数的 导数叫做四阶导数; 一般地 (n−1)阶导数的导数叫做n阶 导数 分别记作 y y (4)      y (n) 或 3 3 dx d y  4 4 dx d y      n n dx d y  下页 ❖高阶导数的定义

12 y=(y)’,f"(x)=[f(x)] dx2 dx dx 例1y=ax+b,求y 解y=a,y=0. 例2s=sino,求s" A S=ccosot, s=-02sinat 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 y=ax+b 求y 例2 s=sinwt 求s 解 y=a y=0 解 s=wcoswt s=−w2 sinwt y =(y)  f (x)=[f (x) ]  ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y =  下页

12 y=(y)’,f"(x)=[f(x)] dx2 dx dx 例3证明:函数y=√2x-x2满足关系式yy”+1=0 证明因为y2√2x12N1=x 2-2x x-X x-x2-(1-x) 2-2x X-X 2 x-x 2x+x2-(1-x)2 (2x-x2)(2x-x2) (2x-x2)2 所以y3y+1=0 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 证明 因为 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x y − − = − −  =  所以y 3y+1=0 y =(y)  f (x)=[f (x) ]  ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y =  2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) x x x x x x x x y − − − − − − −  = (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = 3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x =− − =−  证明 证明 函数 2 2 y = x−x 满足关系式 1 0 例3 y 3 y + =  证明 因为 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x y − − = − −  =  (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = 3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x =− − =−  (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = 3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x =− − =−  首页

今几个初等函数的n阶导数 例4求函数y=ex的n阶导数 解y′=e, 般地,可得y)=e,即(e)yn=ex 例5求函数n(1+x)的m阶导数 解y=ln(1+x),y=(1+x)1,y"=(1+x) y"=(-1)-2)(1+x)-3,y4=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4, 般地,可得 y0)(1)×2):(n+1)1+x)=(-1y-=, (1+x 即 [h(+x))=(1)y-1(n=l (1+x 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 求函数y=e x的n阶导数 即(e x ) (n)=e x 一般地 可得y  (n)=e x  y=e x 解  y (4)=e x y=e  x y=e  x  例5 求函数ln(1+x)的n阶导数 一般地 可得 y (4)=(−1)(−2)(−3)(1+x) −4  解 y=ln(1+x) y (n)=(−1)(−2)  (−n+1)(1+x) −n n n x n (1 ) ( 1)! ( 1) 1 + − = − −  即 n n n x n x (1 ) ( 1)! [ln(1 )] ( 1) ( ) 1 + − + = − −  y =−(1+x) −2 y=(1+x)  −1  y =(−1)(−2)(1+x) −3  下页 ❖几个初等函数的 n 阶导数

例6求正弦函数和余弦函数的n阶导数 解y=sinx y=cosx=sin(x+n) y=coS(x+n)=sin(x+n+A=sin(x+2 y=cos(x+2.7 2 )=sin(x+2+)=Sin(x+3.), 般地,可得 y)=si(x+n·x),即(sinx))=si(x+n·x) 用类似方法,可得(cosx)m)=cos(x+n 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例6 求正弦函数和余弦函数的n阶导数 解 y=sin x 一般地 可得 ) 2 cos sin(  y  = x = x+  ) 2 ) sin( 2 2 2 ) sin( 2 cos(     y  = x+ = x+ + = x+   ) 2 ) sin( 3 2 2 ) sin( 2 2 cos( 2     y  = x+  = x+  + = x+   ) 2 sin( ( )  y = x+n n  即 ) 2 (sin ) sin( ( )  x = x+n n  用类似方法 可得 ) 2 (cos ) cos( ( )  x = x+n n  ) 2 cos sin(  y  = x = x+  ) 2 ) sin( 2 2 2 ) sin( 2 cos(     y  = x+ = x+ + = x+  ) 2 ) sin( 2 2 2 ) sin( 2 cos(     y  = x+ = x+ + = x+   ) 2 ) sin( 3 2 2 ) sin( 2 2 cos( 2     y  = x+  = x+  + = x+  )  2 ) sin( 3 2 2 ) sin( 2 2 cos( 2     y  = x+  = x+  + = x+   ) 2 sin( ( )  y = x+n n  即 ) 2 (sin ) sin( ( )  x = x+n n  下页

例7求幂函数y=x(4是任意常数)的n阶导数公式 解y=x1 2 y"=1(4-1)(42)x3 4)=:1(-1)(42)-3)x-4, 般地,可得 )=(+-1)1-2)…·(4n+1)xn, (x)y)=(+-1)(2)…(4=n+1xn 当=n时,得到 (x)ym)=(-1)(-2)…3.2·1=n (xy)yn+1)=0 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例7 求幂函数y=x m (m是任意常数)的n阶导数公式 而 (x n ) (n+1)=0 当m=n时 得到 即 (x m ) (n) =m(m−1)(m−2)    (m−n+1)x m−n  一般地 可得 y=mx m−1  y=m(m−1)x m−2  y=m(m−1)(m−2)x m−3  y (4)=m(m−1)(m−2)(m−3)x m−4  y (n)=m(m−1)(m−2)    (m−n+1)x m−n  (x n ) (n) =m(m−1)(m−2)    3  2  1=n!  解 首页

今函数和差、积的n阶导数 函数和差的n阶导数 L士)n)=(m)+n). 函数积的n阶导数 (uvy=u'v+uv (uv=uv+2u'v'tuv (uv)y"′="wy+3"y+3'v+v", 用数学归纳法可以证明 ()(=∑Cm=6)v k=0 这一公式称为莱布尼茨公式 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 这一公式称为莱布尼茨公式 •函数和差的 n 阶导数 •函数积的 n 阶导数 用数学归纳法可以证明 (uv) (n)=u (n)+v (n)  (uv)=uv+uv (uv)=uv+2uv+uv (uv)=uv+3uv+3uv+uv   = = − n k k n k k n n uv C u v 0 ( ) ( ) ( ) ( )  下页 ❖函数和差、积的 n 阶导数

莱布尼茨公式:(n)0)cmy), k=0 例8y=x2e2x,求y20) 解设l=e2x,p=x2,则 (l)=2ke2(k=1,2,…,20), v'=2x,y"=2,(v))=0(k=3,4,…,20), 代入莱布尼茨公式,得 =(:)y20)=20.y+C20419)y+C218 220e2xx2+20.2192x.2x+190.218e2x.2 202(x2+20x+95) 2 首页上页返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃  = = − n k k n k k n n uv C u v 0 ( ) ( ) ( ) ( )  例8 y=x 2e 2x  求y (20)  代入莱布尼茨公式 得 (u) (k)=2 ke 2x (k=1 2    20)  v=2x (v) (k) v=2 =0 (k=3 4     20)  =2 20e 2x (x 2+20x+95)  莱布尼茨公式: 解 设u=e 2x  v=x 2  则 结束 =2 20e 2x x 2 +202 19e 2x 2x +1902 18e 2x 2 y (20)=(uv) (20) =u (20)v+C20u (19)v+C20u (18)v 1 2