华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第三章（3.4）函数的单调性与曲线的凹凸性

§34函数的单调性与曲线的凹凸性 函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 自

§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点

、函数单调性的判定法 函数y=f(x)的图象有时上升,有时下降.如何判断函 数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降 的呢? y=f(r) 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数单调性的判定法 函数y=f(x)的图象有时上升, 有时下降. 如何判断函 数的图象在什么范围内是上升的, 在什么范围内是下降 的呢？ 下页

°观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系? °观察结果 函数单调增加时导数大于零,函数单调减少时导数 小于零 y=f(r) f"(x)>0 f"(x)<0 动画演示 首页上页返回 结束

动画演示 首页 上页 返回 下页 结束 铃 f (x)>0 f (x)<0 •观察结果 函数单调增加时导数大于零, 函数单调减少时导数 小于零. •观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系？ 下页

令定理1(函数单调性的判定法) 设函数(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增加; (2)如果在(a,b)内f(x)0,x2-x1>0,所以 fx2)-f(x1)f(9(x2-x1)>0, fx1)<(x2), 这就证明了函数x)在(a,b)内单调增加. 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)0, x2−x1>0, 所以 f(x2 )−f(x1 )=f (x)(x2−x1 )>0, 即 f(x1 )<f(x2 ) , 这就证明了函数f(x)在(a, b)内单调增加. 证明 只证(1). 在(a, b)内任取两点x1 , x2 (x1<x2 ), 下页

令定理1(函数单调性的判定法) 设函数(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增加; (2)如果在(a,b)内∫(x)<0,则f(x)在[a,b上单调减少 说明: 判定法中的开区间可换成其他各种区间. 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明： 判定法中的开区间可换成其他各种区间. 下页 ❖定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上单调减少

令定理1(函数单调性的判定法) 设函数(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增加; (2)如果在(a,b)内∫(x)0, 所以函数y=x-sinx在0,2上的单调增加. 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 判定函数y=x−sin x 在[0, 2p]上的单调性. 解 因为在(0, 2p)内 y=1−cos x >0, 所以函数 y=x−sin x 在[0, 2p]上的单调增加. 下页 ❖定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上单调减少

令定理1(函数单调性的判定法) 设函数(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增加; (2)如果在(a,b)内∫(x)0,所以函数yex-x-1在[0,+∞)上 单调增加. 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)0, 所以函数 y=e x−x−1在[0, +)上 单调增加. 解 函数y=e x−x−1的定义域为(−, ). y=e x−1. 例2 讨论函数 y=e x −x−1的单调性. 下页

例3讨论函数y=3x2的单调性 解函数的定义域为(-∞,+∞) 3(x=0),函数在x=0处不可导 因为x0时,y>0,所以函数在[0,+∞)上单调增加 y=vx 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 函数的定义域为(−, +). 因为x>0时, y>0, 所以函数在[0, +)上单调增加. 因为x<0时, y<0, 所以函数在(−, 0] 上单调减少 例 例 3 3 . 讨论函数 3 2 y = x 的单调性. 3 3 2 x y  = (x0), 函数在 x=0 处不可导. 下页

讨论 设函数y=fx)在[a,b上连续,在(a,b)内可导,x1,x2 是f(x)的两个相邻的零点,问x)在[x1,x2上是否单调? 2.如何把区间[a,b划分成一些小区间,使函数fx) 在每个小区间上都是单调的? 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求出导数f(x); (3)求出f(x)全部零点和不可导点; (4)判断或列表判断; (5)综合结论 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 1. 设函数y=f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, x1 , x2 是 f (x)的两个相邻的零点, 问f(x)在[x1 , x2 ]上是否单调？ 2. 如何把区间[a, b]划分成一些小区间, 使函数 f(x) 在每个小区间上都是单调的？ •讨论 下页 (1)确定函数的定义域 (2)求出导数f (x) (3)求出f (x)全部零点和不可导点 (4)判断或列表判断 (5)综合结论. •确定函数单调区间的步骤

例4确定函数(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解这个函数的定义域为(-∞,+∞) f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2), 导数为零的点为x1=1、x2=2 y=2x3+9x2+12x 列表分析: X (-∞,1)(1,2)(2,+∞) f'(x) + O f() 函数(x)在区间(-∞,1和[2,+∞)内 单调增加,在区间[1,2]上单调减少 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x f (x) f (x) 例4 确定函数f(x)=2x 3−9x 2+12x−3的单调区间. 解 这个函数的定义域为(−, +). f (x)=6x 2−18x+12=6(x−1)(x−2), 导数为零的点为x1=1、x2=2. 列表分析 函数f(x)在区间(−, 1]和[2, +)内 单调增加, 在区间[1, 2]上单调减少. (−, 1) (1, 2) (2, +) ↗ ↘ ↗ ＋ － ＋ y=2x 3−9x 2+12x−3 下页