华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第三章（3.4.5）二阶导数

设(x)在[a,b上连续,在(a,b)内具有二阶导数若在(a,b) 内f(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的; X,+X 简要证明设x1,x2∈[a,b,且x(22),所以(对)在a上的图形是凹的 上页返回 下页

上页 返回 下页 设 1 2 x , x [a b] 且 1 2 x x  记 2 1 2 0 x x x + =  设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数 若在(a b) 内f (x)>0则f(x)在[a b]上的图形是凹的 简要证明 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 0 1 x x f x f x f x x f − − =   − =    1 1 0 x  x  2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 0 2 2 0 2 x x f x f x f x x f − − =   − =    0 2 2 x  x  2 ( ) ( ) 2 ( ) [ ( ) ( )] 2 1 1 2 0 2 1 x x f x f x f x f f − + − =   −   0 2 ( )( ) 2 1 2 1  − =  − x x f     1   2  由拉格朗日中值公式得 即 ) 2 ( 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f f x f x +  +  所以 f(x)在[a b]上的图形是凹的 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 0 1 x x f x f x f x x f − − =   − =    1 1 0 x  x  2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 0 1 x x f x f x f x x f − − =   − =    1 1 0 x  x  2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 0 2 2 0 2 x x f x f x f x x f − − =   − =    0 2 2 x  x  2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 0 2 2 0 2 x x f x f x f x x f − − =   − =    0 2 2 x  x  即 ) 2 ( 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f f x f x +  +  所以 f(x)在[a b]上的图形是凹的