华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第三章（3.1）中值定理

§3.1中值定理 、罗尔定理 拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 自

一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 §3.1 中值定理 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、罗尔定理 观察与思考 设连续光滑的曲线yfx)在端点A、B处的纵坐标 相等. 提问: f(9)= y 提示: C y=(x) f"(=0 A B O b x 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、罗尔定理 设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标 相等 提问： f (x)= ? •观察与思考 提示： f (x)=0 下页

☆罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b) 内可导,且有a)=b),那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f"(=0 简要证明: (1)若f(x)是常函数,则f'(x)=0,定理的结论显然是成 立的 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0 简要证明 (1)若f(x)是常函数 则f (x)0 定理的结论显然是成 立的 下页

☆罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b) 内可导,且有a)=b),那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f"(=0 简要证明: (2)若fx)不是常函数,则(x)在(a,b)内至少有一个最 大值点或最小值点,不妨设有一最大值点5∈(a,b).于是 f()=f()=lm f(x)-f(2) 0 X f(s=(=lim fx)/(50 XX 因此必有f(2)=0 画首贝贝这回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim  − −  =  = → − − x x x x x x f x f f f x  (2)若f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至少有一个最 大值点或最小值点 不妨设有一最大值点x(a b) 于是 因此必有f (x)=0 下页 简要证明  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim  − −  =  = → + + x x x x x x f x f f f x  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim  − −  =  = → − − x x x x x x f x f f f x  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim  − −  =  = → + + x x x x x x f x f f f x  ❖罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0

☆罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b) 内可导,且有a)=b),那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f∫"(=0 应注意的问题: 如果定理的三个条件有一个不满足,则定理的结论 有可能不成立 y八(x O b x fa)=(b)不满足 首页返回页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足 则定理的结论 有可能不成立 下页 ❖罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0

例1不求导数,判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数 有几个实根,以及其所在范围 解f(1)=f(2)f(3)=0,fx)在1,2],[2,3]上满足罗尔定 理的三个条件 在(1,2)内至少存在一点5,使f(51)=0,5是f(x)的 个实根 在(2,3)内至少存在一点2,使f(2)=0,点也是f(x)的 实根. f(x)是二次多项式,只能有两个实根,分别在区间 (1,2)及(2,3)内 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 不求导数 判断函数f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)的导数 有几个实根 以及其所在范围 解 f(1)=f(2)=f(3)=0 f(x)在[1 2] [2 3]上满足罗尔定 理的三个条件 在(1 2)内至少存在一点x1  使 f (x1 )=0 x1是 f (x)的 一个实根 在(2 3)内至少存在一点x2  使f (x2 )=0 x2也是f (x)的 一个实根 f (x)是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间 (1 2)及(2 3)内 首页

二、拉格朗日中值定理 观察与思考 设连续光滑的曲线=f(x)在端点A、B处的纵坐标不 相等 提问: 直线AB的斜率k=?f(=? 提示: 直线AB的斜率 B k=(b)-(a) b A r(2=6)-/(a.oa h x 上页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、拉格朗日中值定理 •观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不 相等 提问： 直线AB的斜率k=? f (x)=? 提示： 下页 f (x)= b a f b f a − ( )− ( )  k= b a f b f a − ( )− ( )  直线AB的斜率

◆拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内 可导,那么在(a,b)内至少有一点,使得 fbfa($(b-a) 直线AB的斜率 B k=(b)-(a) b A r(2=6)-/(a.oa h x 上页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)−f(a)=f (x)(b−a) ❖拉格朗日中值定理 下页 f (x)= b a f b f a − ( )− ( )  k= b a f b f a − ( )− ( )  直线AB的斜率

◆拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内 可导,那么在(a,b)内至少有一点,使得 fbfa($(b-a) 简要证明令以x)1(x)1(a)(b)-/((2 b 则函数(x)在区间[a,b]上满足罗尔定理的条件, 于是至少存在一点∈(a,b),使ρ(2)=0,即 q'(x)=f'(x) f(6-f(a b 由此得 f(6fa=f((b-a) 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 则函数j(x)在区间[a b]上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b) 使j (x)=0 即 简要证明 由此得 f(b)−f(a)=f (x)(b−a) 令 j(x)=f(x)−f(a)− b a f b f a − ( )− ( ) (x−a) j (x)=f (x)− b a f b f a − ( )− ( )  下页 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)−f(a)=f (x)(b−a) ❖拉格朗日中值定理

◆拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内 可导,那么在(a,b)内至少有一点,使得 fbfa($(b-a) 拉格朗日中值公式 f(6fa=f(s(b-a), f(x+Ax)-fx=(x+OAx)Ax(0<0<1) △yf(x+6△x)x(0<6<1) 注 dy=f(x)Ax是函数增量y的近似表达式 ∫(x+θx)Ax是函数增量Δy的精确表达式 首页返回结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 f(b)−f(a)=f (x)(b−a) f(x+Dx)−f(x)=f (x+qDx)Dx (0<q <1) Dy=f (x+qDx)Dx (0<q <1) •拉格朗日中值公式 下页 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)−f(a)=f (x)(b−a) ❖拉格朗日中值定理 注： dy=f (x)Dx是函数增量Dy的近似表达式 f (x+qDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式