华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第四章（4.1）不定积分的概念与性质

§4.1不定积分的概念与性质 、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 自

§4.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、原函数与不定积分的概念 ☆原函数的概念 如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为fx),即对 任一x∈l,都有 F'(xfx)idf(x=fxdx 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)x)在区间/上的原函数 原函数举例 因为(sinx)′=cosx,所以sinx是cosx的原函数 因为(x) 所以√x是的原函数 2√x 2√x 提问:cosx和一还有其它原函数吗? 2√x 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、原函数与不定积分的概念 ❖原函数的概念 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对 任一xI, 都有 F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. •原函数举例 因为(sin x)=cos x , 所以sin x是cos x的原函数. 提问： 因为 x x 2 1 ( ) = , 所以 x 是 2 x 因为 1 的原函数. x x 2 1 ( ) = , 所以 x 是 2 x 1 的原函数. cos x 和 2 x 1 还有其它原函数吗？ 下页

◆原函数存在定理 如果函数(x)在区间/上连续,那么在区间I上存在可 导函数F(x),使对任一x∈Ⅰ都有 F'(x)=(x) 简单地说就是:连续函数一定有原函数 两点说明: 1.如果函数f(x)在区间/上有原函数F(x),那么x)就有 无限多个原函数,F(x)+C都是(x)的原函数,其中C是任意 常数 2函数f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x)和F(x)都是fx)的原函数,则 d(x)F(x)=C(C为某个常数) 上页 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可 导函数F(x), 使对任一xI 都有 F (x)=f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明： 1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有 无限多个原函数, F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意 常数. 2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 (x)−F(x)=C (C为某个常数). 下页

今不定积分的概念 在区间上,函数x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或八(x)dx)在区间/上的不定积分,记作 f(rdx 不定积分中各部分的名称: ∫---称为积分号 f(x)---称为被积函数, f(x) 称为被积表达式, X 称为积分变量 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 不定积分中各部分的名称：  ------ 称为积分号, f(x) ------ 称为被积函数, f(x)dx ------ 称为被积表达式, x ------ 称为积分变量. ❖不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作  f (x)dx . 下页

今不定积分的概念 在区间上,函数x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或八(x)dx)在区间/上的不定积分,记作 f(rdx 根据定义,如果F(x)是(x)在区间l上的一个原函数,那么 F(x)+C就是x)的不定积分,即 ∫f(x)dk=F(x)+C 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么 F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 ❖不定积分的概念  f (x)dx .  f (x)dx = F(x)+C . 下页

如果F(x)是(x)的一个原函数,则∫/(x)x=F(x)+C 例1因为sinx是cosx的原函数,所以 ∫ cosxd=sinx+C 因为√x是的原函数,所以 2 cx=√x+C 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则  f (x)dx = F(x)+C .  cosxdx =sin x+C . 下页 因为 x 是 2 x 1 的原函数, 所以 dx x C x = +  2 1

如果F(x)是(x)的一个原函数,则∫f(x)bx=F()+C 例2求函数f(x)=的不定积分 解当x>0时,(x)=1 dx=In x+C(x>0) 当x0时,[m(-x)y=1(-)=1 X ∫1ax=h(-x)+C(xO 合并上面两式,得到 dx=lnx|+C(x≠0) 上页 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解：当 x>0 时, (ln x) x 1 = , 例 2. 求函数 x f x 1 例2 ( )= 的不定积分. 合并上面两式, 得到 解 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则  f (x)dx = F(x)+C . dx x C x = +  ln 1 (x>0) 当 x<0 时, [ln(−x)] x x 1 ( 1) 1  − = − = , dx x C x = − +  ln( ) 1 (x<0). dx x C x = +  ln| | 1 (x0). 下页

例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程 解设所求的曲线方程为y=x),则曲线上任一点(x,y) 处的切线斜率为 y=f(x)=2x, 即(x)是2x的一个原函数.因为 2xdx=x2+C 故必有某个常数C使(x)=x2+C,即曲线方程为y=x2+C 因所求曲线通过点(1,2),故 2=1+C.C=1 于是所求曲线方程为y=x2+1 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为y=f(x), 则曲线上任一点(x, y) 处的切线斜率为 y=f (x)=2x, 即f(x)是2x 的一个原函数. 故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故 2=1+C, C=1. 于是所求曲线方程为y=x 2+1. 因为  xdx = x +C 2 2 , 下页

积分曲线 函数(x)的原函数的图形称为x)的积分曲线 函数(x)的积分曲线也有无限 y/v=x2+C2 多.函数f(x)的不定积分表示fx)的 簇积分曲线,而八(x)正是积分曲 线的斜率 Cl 2x的积分曲线 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 函数f(x)的积分曲线也有无限 多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的 一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲 线的斜率. •积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 下页 2x的积分曲线

☆微分与积分的关系 从不定积分的定义可知 /(x0(x,或=(xx; 又由于F(x)是F(x)的原函数,所以 「F(x)tx=F(x)+C,或记作d(x)=F(x)+C 由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定 积分的运算是互逆的 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖微分与积分的关系 从不定积分的定义可知 又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以 由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定 积分的运算是互逆的.  [ f (x)dx]= f (x) dx d , 或  d[ f (x)dx]= f (x)dx   [ f (x)dx]= f (x) dx d , 或  d[ f (x)dx]= f (x)dx   F(x)dx = F(x)+C , 或记作 dF(x)= F(x)+C .  F(x)dx = F(x)+C , 或记作 dF(x)= F(x)+C . 首页