华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十一章（11.4.1）各阶导数

设函数(x)在点x0的某一邻域Ux)内具有各阶导数,则fx) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是x)的泰勒 公式中的余项R(x)当n->0时的极限为零,即 iR2(x)=0(x∈U(x) n→0 简要证明:先证必要性 设(x)在U(x)内能展开为泰勒级数,即 x f(x)=f(x0)+f(x0(x-x0)+ X一 2 又设sn(x)是f(x)的泰勒级数的前n+1项的和,则在U(x)内 Sn+1(x)-(x)(n->∞) 而x)的n阶泰勒公式可写成 f(x=Sm+(x)+r,(x) 于是R(x)=(x)Sn1(x)→>0(n>∞) 上页 返回

上页 返回 下页 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0 )内具有各阶导数, 则f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒 公式中的余项Rn (x)当n→0时的极限为零, 即 lim ( ) 0 ( ( )) 0 R x x U x n n =  →  简要证明: 设f(x)在U(x0 )内能展开为泰勒级数, 即 先证必要性 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 − +   = +  − + x x f x f x f x f x x x  又设sn+1 (x)是f(x)的泰勒级数的前n+1项的和,则在U(x0 )内 sn+1 (x)→f(x)(n→) 而f(x)的n阶泰勒公式可写成 f(x)=sn+1 (x)+Rn (x), 于是Rn (x)=f(x)−sn+1 (x)→0(n→) 下页

设函数(x)在点x0的某一邻域Ux)内具有各阶导数,则fx) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是x)的泰勒 公式中的余项R(x)当n->0时的极限为零,即 iR2(x)=0(x∈U(x) 简要证明:再证充分性 设R2(x)→>0(m->∞)对一切x∈Ux0)成立 因为(x)的m阶泰勒公式可写成 f(x)=Sn+(x)+Rn(x), 于是 Sn+1(x)=f(x)-R2(x))(x) 即fx)的泰勒级数在U(x0)内收敛,并且收敛于fx 上页 下页

上页 返回 下页 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0 )内具有各阶导数, 则f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒 公式中的余项Rn (x)当n→0时的极限为零, 即 lim ( ) 0 ( ( )) 0 R x x U x n n =  →  简要证明: 再证充分性 设Rn (x)→0(n→)对一切xU(x0 )成立 因为f(x)的n阶泰勒公式可写成 f(x)=sn+1 (x)+Rn (x), 于是 sn+1 (x)=f(x)−Rn (x)→f(x), 即f(x)的泰勒级数在U(x0 )内收敛, 并且收敛于f(x) 返回