华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十一章（11.5）函数的幂级数展开式的应用

§115函数的幂级数展开式的应用 、近似计算 二、欧拉公式 自

一、近似计算 二、欧拉公式 §11.5 函数的幂级数展开式的应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、近似计算 例1计算3240的近似值,要求误差不超过0000 解240=243-3=31 1/5 3(1 11411.4.91 5345223853.3312 如果取前二项作为所求值的近似值,则误差为 h14 114-9.1414914.1 52·23853.3312 43 1.4 3 +-+ (a,)2+…] 52·2388181 20000 于是、240≈3(1 2.9926 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.9926. 一、近似计算 例 1 计算5 例1 240 的近似值 要求误差不超过 0.0001. 1/5 4 5 5 ) 3 1 240 = 243−3=3(1− ) 3 1 5 3! 1 4 9 3 1 5 2! 1 4 3 1 5 1 3(1 4 2 8 3 1 2  −     −   = −  − . 解 于是 ) 2.9926 3 1 5 1 240 3(1 4 5  −    ) 3 1 5 4! 1 4 9 14 3 1 5 3! 1 4 9 3 1 5 2! 1 4 | | 3( 2 8 3 12 4 16 2  +       +     +   r = 20000 1 ) ] 81 1 ( 81 1 [1 3 1 5 2! 1 4 3 2 2 8  + + +       . 1/5 4 5 5 ) 3 1 240 = 243−3=3(1− 20000 1 ) ] 81 1 ( 81 1 [1 3 1 5 2! 1 4 3 2 2 8  + + +       . 如果取前二项作为所求值的近似值, 则误差为 下页

例2计算n2的近似值,要求误差不超过00001 解已知 n(1+x)=x-+ h+1 234 +…+(n+1 +…(-1<x≤1), ln(1-x)=-x 234 (1≤x<1), 两式相减得 n+x=m(1+x)-(-x)=2(x+1x3+1x5+…)(-1<x<) x 提示:这个幂级数收敛速度较慢,用于求n2较困难 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数 上负”返回”结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例2 计算ln2的近似值 要求误差不超过0.0001. ( 1 1) 1 ( 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4 1 +  −   + + = − + − +  + − + x n x x x x x x n n  (1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4 − =− − − − − x x x x x x  ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + )( 1 1) 5 1 3 1 2( = x+ x 3 + x 5 +  − x . 已知 两式相减得 提示: 这个幂级数收敛速度较慢 用于求ln2较困难. 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数. 下页

例2计算n2的近似值,要求误差不超过00001 解已知 小1+x=(1+x)-m1-x)=2(x+2x3+2x5+…)(-1<x<1) x 以x=1代入得h2=2(4+1-1+1.1+1.1+…) 333 如果取前四项作为n2的近似值,则误差为 4=2 391131113313 3++( 700000 于是l2≈2( +3 33535 737 )≈06931 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + )( 1 1) 5 1 3 1 2( = x+ x 3 + x 5 +  − x . 以 3 1 x= 代入得 ) 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2( 3 5 7 = +  +  +  +  . 如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为 700000 1 ) ] 9 1 ( 9 1 [1 3 2 2 11  + + +   . ) 3 1 13 1 3 1 11 1 3 1 9 1 | | 2( 9 11 13 4 r =  +  +  +  于是 ) 0.6931 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2( 3 5 7  +  +  +   . 700000 1 ) ] 9 1 ( 9 1 [1 3 2 2 11  + + +   . 于是 ) 0.6931 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2( 3 5 7  +  +  +   . 下页 解 例2 计算ln2的近似值 要求误差不超过0.0001. 已知

例3利用smx≈x-1x3求sn9的近似值,并估计误差 解 x×9=z 180 20 (弧度) 在sinx的幂级数展开式中令x=x,得 20 丌 sin 2020320 207120′ 取前两项得 sinx≈n-(0)3≈0.15643 20203!20 其误差为 ,kas 20120 300000 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 3 利用 3 3! 1 例3 sin xx− x 求 sin 9 的近似值 并估计误差. 解 9 180 9 =    20  = (弧度). 在 sin x 的幂级数展开式中令 20  x = , 得 ) 20 ( 7! 1 ) 20 ( 5! 1 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin 3 5 7 = − + − +       . 其误差为 300000 1 (0.2) 120 1 ) 20 ( 5! 1 | | 5 5 2      r . 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin     − 0.15643. 取前两项得 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin     − 0.15643. 300000 1 (0.2) 120 1 ) 20 ( 5! 1 | | 5 5 2      r . 300000 1 (0.2) 120 1 ) 20 ( 5! 1 | | 5 5 2      r . 下页

例4求积分=2eh的近似值(误差不超104) 解将被积函数换成其幂级数展开式得 2 2 e c -dx n=0 x22324.5·226·7.3 前四项的和作为近似值,其误差为 nE29.49000 所以 2 xdx≈ )≈0.5295 丌23245226.7·3 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 将被积函数换成其幂级数展开式得 dx n x e dx n n x n ] ! [ ( 1) 2 2 2 1 0 2 0 2 1 0 2     = − = −   ) 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 (1 1 2 4 6 +    −   +  = −  . 前四项的和作为近似值其误差为 90000 1 2 9 4! 1 1 | | 4 8      r  ) 0.5295 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 (1 2 1 2 4 6 2 1 0 2    −   +   −  −   e dx x . 所以 dx n x e dx n n x n ] ! [ ( 1) 2 2 2 1 0 2 0 2 1 0 2     = − = −   90000 1 2 9 4! 1 1 | | 4 8      r  ) 0.5295 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 (1 2 1 2 4 6 2 1 0 2    −   +   −  −   e dx x . 例 4 求积分 e dx x  2 − 1 0 2 2  的近似值(误差不超 4 10− ). 下页

例5求积分5x的近似值(误差不超104) 解展开被积函数,有 SIn x ×十 ∴(-∞0<X<+ 5!7 在区间[0,1]上逐项积分,得 SInx Mdx=1 111 10 X 3·35·57·7 因为第四项 7.730000 所以取前三项的和作为积分的近似值: sIn x +-=0.9461 X 3.35·5 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 5 求积分 dx x x  1 0 sin 的近似值(误差不超 4 10− ). 解 展开被积函数 有 ( ) 3! 5! 7! 1 sin 2 4 6 = − + − +  − x+ x x x x x . 在区间[0 1]上逐项积分 得 7 7! 1 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 +   −  +  = −  dx x x . 因为第四项 30000 1 7 7! 1    所以取前三项的和作为积分的近似值: 0.9461 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 =  +   −  dx x x . 首页

二、欧拉公式 ◆复数项级数 设有复数项级数∑(un+n),其中n,vn(n=1,2,3,…)为实 常数或实函数 如果实部所成的级数∑n收敛于和,并且虚部所成的级 数∑vn收敛于和v,就说复数项级数收敛且和为+tv 今绝对收敛 如果级∑(an+ivn)的各项的模所构成的级数∑n+ivn收敛, 则称级数∑(un+n)绝对收敛 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、欧拉公式 ❖复数项级数 设有复数项级数∑(un+ivn ) 其中un  vn (n=1 2 3   )为实 常数或实函数. 如果实部所成的级数∑un收敛于和u 并且虚部所成的级 数∑vn收敛于和v就说复数项级数收敛且和为u+iv. 如果级∑(un+ivn )的各项的模所构成的级数∑|un+ivn |收敛 则称级数∑(un+ivn )绝对收敛. ❖ 绝对收敛 下页

◆复变量指数函数 考察复数项级数 1+z+z2+…+1zn+ 可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的,在x轴上它表示指 数函数e,在复平面上我们用它来定义复变量指数函数,记为 即 e=1+z+1z2+…+1zm+ 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖复变量指数函数 考察复数项级数 ! 1 2! 1 1 2 + + +  + +  n z n z z . 可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 在x轴上它表示指 数函数e x  在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 记为 e z . 即 ! 1 2! 1 1 2 = + + +  + +  z n z n e z z . 下页

◆复变量指数函数 e=1+z+1z2+…+-zn+ 今欧拉公式 当x=0时,z=y,于是 ey=1+iy+(iy2+…+(y)+ 1+y- 34 1-1y2+0y4-…)+y-3+15-…) =COS y+iSin y 把换成x得e=cosx+inx,这就是欧拉公式 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ! 1 2! 1 1 2 = + + +  + +  z n z n e z z . ❖欧拉公式 当x=0时 z=iy  ( ) ! 1 ( ) 2! 1 1 2 = + + +  + +  i y n iy n e iy iy = + − − + + − 5! 1 4! 1 3! 1 2! 1 1 2 3 4 5 iy y i y y i y ) 5! 1 3! 1 ) ( 4! 1 2! 1 (1 2 4 3 5 = − y + y − +i y− y + y − =cos y+isin y. 于是 把y换成x得 e 这就是欧拉公式. ix=cos x+isin x 下页 ❖复变量指数函数