华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.2.1）定理2（收敛数列的有界性）

◆定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界 证明设数列{xn}收敛于a 根据数列极限的定义,VE=1,丑N∈N+,当n>N时,有 xn-aE=1 于是当n>N时, xn=(n -ata sxn-a+a<1+a 取M=max{xl,x2,…x,1+a},那么∨∈N,有xnkM 这就证明了数列{x}是有界的 上页 返回 下页

上页 返回 下页 设数列{xn }收敛于a 根据数列极限的定义 e =1 NN+  当n>N 时, 有 |xn-a|N时 |xn |=|(xn -a)+a| | xn-a|+|a|<1+|a|  取M=max{|x1 | |x2 |    |xN | 1+|a|} 那么N+  有|xn |M 这就证明了数列{xn }是有界的 证明 ❖定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn }收敛 那么数列{xn }一定有界